www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

En anvendelse i tallteori

Hvordan kan logaritmer anvendes i tallteori?

Vi tar en tur utenfor pensum og ser hvordan logaritmer kan anvendes i tallteori. Vi definerer en funksjon π, hvor πx er antall primtall mindre enn eller lik x. Da har vi følgende:

Teorem

Hvis x2, så er πxlnlnx.

Bevis

La pn være primtall nummer n. Det vil si at p1=2,p2=3,p3=5 og så videre. La oss nå ta produktet av alle disse og legge til 1:

p1pn+1.

Vi merker at ingen av primtallene p1,p2,...,pn kan dele dette tallet: vi kommer alltid til å få 1 i rest. Dermed vet vi at det neste primtallet, pn+1, ikke kan være større enn dette produktet. Med andre ord har vi

pn+1p1pn+1.

Nå viser vi at pn<22n ved induksjon. Tilfellet n=1 er umiddelbart: 2<4. Anta at pk<22k. Vi vet at

pk+1<22122222k+1=2i=1k2i+1

Rekken i eksponenten er geometrisk med kvotient 2. Vi vet at denne rekker konvergerer til

22n-1-12-1=2n-2

Dermed har vi

pk+1<22k-2+1<22k+1

Dette fullfører induksjonsbeviset, så vi har pn<22n for alle n. Dermed må det være minst n primtall under 22n:

π 22nn

Nå gjør vi antagelsen at x>e, og velger et heltall n slik at

een-1<xeen

(Merk at dette alltid finnes et slikt heltall, om du er i tvil, se på grafen til funksjonen fx=ex) Når n=4, så er en-1>2. Siden eksponentialfunksjonen ex vokser fortere enn 2x (siden e>2), så vet vi at en-1>2n for alle n4. Dermed har vi, for vårt valg av n og x,

πxπeen-1.

Siden en-1>2n for n4 har vi

πeen-1πe2nπ22n.

Men vi har allerede vist at

π22nn.

Men siden xeen, så er lnxen, og lnlnxn. Dermed har vi

nlnlnx

og vi har vist at

πxlnlnx.

Merk at beviset ikke holder for veldig små verdier av x, men disse kan sjekkes manuelt.

Publisert: 15.07.2015 Endret: 24.08.2015