www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Mer om logaritmer

Her går vi mer teoretisk til verks. Vi vil se på generelle logaritmer og unikheten til logaritmen.

Til tross for at dette er utenfor pensum i den videregående skolen kan nok første del av denne seksjonen hjelpe på intuisjonen for mange: vi viser at logaritmereglene holder i alle tilfeller, uavhengig av valg av base. Dermed merker vi at basene 10 og e kun er valgt av praktiske årsaker. Men, om vi er gitt en base b1, hvordan vet vi da at logaritmen er unik? Det skal vi se på mot slutten av denne seksjonen.

Definisjon

La a,b være positive, reelle tall, og b>1. Da er logba det unike tallet slik at blogba=a.

Eksempel 1

Vi ser at log28=3, da 23=8.


Teorem

La b,x,y være positive, reelle tall med b>1, og la c være vilkårlig. Da holder logaritmereglene

(a) logbxc=clogbx

(b) logbxy=logbx+logby

(c) logbxy=logbx-logy

 
Vi legger inn antagelsen b>1 slik at logbx fortsatt er en voksende funksjon, som alltid er tilfellet i den videregående skole.

Bevis

(a) Vi skriver bclogbx=blogbxc=xc=blogbxc. Vi har dermed vist (a).


(b) Vi skriver blogbx+logby=blogbxblogby=xy=blogbxy.


(c) Bevises på tilsvarende måte.

Vi skal nå bevise helt fra grunnen av at logaritmen eksisterer og er unik. Dette er en vanskeligere oppgave enn det virker som, simpelthen fordi vi ikke tillater oss å gjøre noen grunnløse antagelser. Den første oppgaven vi må løse er hvordan vi skal ordlegge oss: hva er det vi egentlig ønsker å vise?

Teorem

La y,b være positive, reelle tall med b>1. Da eksistererer det et unikt tall som vi kaller for logby, som oppfyller egenskapen  blogby=y.


Gjennom beviset kommer vi til å kalle logby for “x”. Og før vi setter i gang gir vi hovedideen i beviset, vil vi prøve å approksimere y med tall på formen bw. Deretter ser vi på det den minste øvre grensen eller supremum til mengden

w I bw<y

og viser at dette er akkurat tallet vi leter etter. Vi gir et supert raskt kurs i supremum: gitt mengden A=-1,1, så er sup A=1, til tross for at 1A. Hvorfor stemmer dette? Merk at uansett hvilket tall xA du velger, så finnes det alltid et annet tall yA slik at x<y. Om du gir meg 0,99995, kan jeg alltid svare med 0,99996. Dermed er 1 den minste øvre grensen til mengden A. Beviset under bruker formelen for en endelig geometrisk rekke. Beviset for en endelig geometrisk rekke finner du i høyrespalten. Vi anbefaler deg å se på det før du leser videre.

Bevis

Steg 1

La n være et positivt heltall. Da er

bn-1nb-1.

For å se dette kjenner vi først igjen formelen for en endelig geometrisk rekke:

a1+ka1+k2a1++kn-1a1=a1kn-1k-1

for k1. Derfor er

bn-1b-1=1+b++bn-1.

Vi multipliserer med b−1 på begge sider og får

bn-1=1+b++bn-1b-1.

Da b>1 følger ulikheten herifra.


Steg 2

Det følger fra Steg 1 at vi har

b-1nb1n-1

For å se dette merker vi at siden b>1, så er også b1n>1. Dermed kan vi anvende Steg 1, bare at vi bruker b1n i stedet for b. Dermed sier Steg 1 at

b1nn-1nb1n-1

som vi ville vise.


Steg 3

Om t>1 og n>b-1t-1, så har vi at

b1n<t

Fra Steg 2 og antagelsen om at n>b-1t-1, følger det at

b-1>b-1b1n-1t-1

og rydder vi opp i ulikheten har vi

t-1>b1n-1

og vi er ferdig.


Steg 4

La w være et reelt tall slik at bw<y. For et tilstrekkelig stort positivt heltall n har vi da

bw+1n>y


Du finner det kanskje forvirrende hva vi mener med “tilstrekkelig stort”: heldigvis trenger vi ikke å tenke stort på det i dette tilfellet, vi kommer til å vise akkurat hvor stor n må være. Vi ønsker nemlig å bruke Steg 3 for et spesifikt valg av t. Vi velger t=yb-w. Først må vi se at dette valget av t oppfyller kriteriet i Steg 3, nemlig at t>1. Siden bw<y så er

t=yb-w=ybw>yy=1.

(Dette følger av at m>n impliserer 1m<1n.) Dermed vet vi at dette er et gyldig valg av t for å kunne bruke Steg 3. Da trenger vi bare følgende kriterie på n for å kunne bruke Steg 3:

n>b-1t-1=b-1yb-w-1.

Fra Steg 3 vet vi at i dette tilfellet så er

b1n<yb-w

og at vi dermed har

b1n+w<y

som vi ville vise.


Steg 5

Om bw>y (merk at ulikheten nå går andre veien) har vi at

bw-1n>y

for tilstrekkelig stor n. Vi bruker samme trikset, bare at vi nå velger t=bwy-1. Siden bw>y er dette et gyldig valg av t, og resten av beviset er identisk med Steg 4. (Om du er interessert anbefaler jeg deg å skrive det ut i detalj.)


Steg 6

I dette steget viser vi eksistens av logaritmen. La A være mengden av alle w slik at bw<y.,

det vil si mengden av alle w slik at bw<y. La x=sup A som vi diskuterte før beviset. Da er x=logby, med andre ord oppfyller x egenskapen bx=y.

Vi skal her bruke et vanlig triks når man ønsker å vise at to tall er like: vi viser at verken bx<y eller bx>y er mulig. Dermed gjenstår bare bx=y. Vi tar først for oss bx<y. Om dette er sant, så er bx+1n<y tilstrekkelig stor n, som vi viste i Steg 4. Dermed kan x umulig være den minste øvre grensen av A: x+1n er et større tall som også er i A. Vi tar for oss bx>y på samme måte, men vi anvender Steg 5. Da ser vi at x umulig kan være den minste øvre grensen, da x-1n er en mindre øvre grense. Dermed er bx=y.


Steg 7

I dette steget beviser vi unikhet av logaritmen; det vil si at vi skal vise at x er det unike tallet med egenskapen at bx=y. Anta at det finnes et annet tall z slik at bz=y. Da er

bx=y=bz.

Det følger at

bx-z=1

Da b>1, så må vi ha at x-z=0. Da er x=z. Dette fullfører beviset.

Publisert: 15.07.2015 Endret: 24.08.2015