www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Logaritmelikninger

La oss se hvordan vi håndterer likninger som inneholder logaritmeuttykk.

Du har kanskje allerede sett likninger på formen ax=b. Slike likninger kalles eksponentiallikninger. Disse bruker vi gjerne logaritmer til å løse. Nå skal vi se på likninger som inneholder enten den Briggske eller naturlige logaritmen til den ukjente, såkalte logaritmelikninger.

Eksempel 1

La oss løse likningen logx2=8.

Vi anvender regelen logxa=alogx, og merker at vi kan skrive om likningen til

2logx=8

og ved å dele på 2 har vi at

logx=4

Nå anvender vi definisjonen av den Briggske logaritmen, 10logx=x for å konkludere med at

10logx=104

x=104=10000.
 

NB! Vi er vant til at andregradsuttrykk har to løsninger, så hvorfor får vi bare èn løsning her? Dette kommer av at logaritmen kun er definert for positive verdier av x. Vi mistet en løsning ved å bruke logaritmeregelen logx2=2logx. Om vi ønsker å finne alle løsningene kan vi gjøre dette direkte fra definisjonen 10logx2=x2=108. Dermed har vi løsningene x=±104.

 

Eksempel 2

Vi vil løse likningen logx2+log5x+6=logx4.

Vi anvender først logaritmereglene for å skrive uttrykket som

2logx+log5+logx+6=4logx

og flytter om på faktorene

logx=6+log5.

Dermed anvender vi definisjonen av logaritmen til å få løsningen

x=106+log5=10610log5=5106.
 

Finner løsningen direkte ved bruk av definisjonen:

Venstresiden av likningen kan skrives som

10logx210log5x106=106x25x

Høyresiden av likningen kan skrivs som

10logx4=x4

Da har vi

106x25x=x4

Om vi antar at x0 (x=0 er en løsning til uttrykket ovenfor, men logx er ikke definert for x=0) kan vi dele på x2 og få

5106x=x2

og vi ser at eneste gjenværende løsning er 5106.

 

Eksempel 3

Vi vil løse likningen lnx2+ln5x+6=lnx4.

Vi merker at likningen er identisk med de to siste eksemplene, bare at vi har byttet ut log med ln. Vi anvender først logaritmereglene for å skrive uttrykket som

2lnx+ln5+lnx+6=4lnx

og flytter om på faktorene

lnx=6+ln5.

Dermed anvender vi definisjonen av logaritmen til å få løsningen

x=e6+ln5=e6eln5=5e6.

Vi ser at vi løser likningene på akkurat samme måte, uavhengig om vi jobber med  log eller ln. Men legg merke til at vi får ikke identiske svar!

 

Eksempel 4

En nasjon har kommet frem til at befolkningsveksten i landet kan modelleres ved funksjonen

fx=13106logx2

hvor x er antall år og fx er størrelsen på befolkningen. Når er befolkningen på 26 millioner?

Vi må løse likningen

13106logx2=26106

Vi dividerer begge sider av likningen først med 13106 og får

logx2=2

Vi anvender definisjonen av logaritmen og får at

10logx2=x2=102=100.

Dermed har vi løsningene

x=±10.

Vi forkaster den negative løsningen og kommer frem til at det tar 10 år før befolkningen er på 26 millioner.
 

 

Publisert: 15.07.2015 Endret: 16.08.2016