Den naturlige logaritmen

Dermed kan du tenke på tallet $\ln x$ som “tallet du må opphøye $e$ i for å få $x$.”

Det å regne med den naturlige logaritmen er akkurat som å regne med den Briggske logaritmen. Grunnen til at vi gjerne ønsker å jobbe med basetallet e er fordi den deriverte til  eksponentialfunksjonen $f\left(x\right)=e^x$ er lik seg selv $f^{\text{'}}\left(x\right)=e^x$. Det gjør at den naturlige logaritmen i mange tilfeller er enklere å jobbe med.

Eksempel 1

Den naturlige logaritmen til $1$, $\ln 1$, er simpelthen $0$, siden $e^0=1$. Av samme grunn er $\ln e=1$.

Eksempel 2

Vi ønsker å løse likningen $5^x=19\pi$.

Vi anvender den naturlige logaritmen på begge sider og får

$\ln 5^x=\ln 19\pi$.

Deretter bruker vi del (a) av teoremet

$x\ln 5=\ln 19\pi$

og får

 $x=\frac{\ln 19\pi }{\ln 5}$.

Eksempel 3

Veksten i en bakteriekultur på to millioner er gitt ved funksjonen $f\left(x\right)=\left(2\cdot {10}^6\right)\cdot e^{3x}$ hvor $x$ er antall dager. Finn ut når bakteriekulturen har $100$ millioner eller flere bakterier.

Vi må løse likningen

$\left(2\cdot {10}^6\right)\cdot e^{3x}=100\cdot {10}^6$.

Vi dividerer begge sider av likningen på $2\cdot {10}^6$ og finner at

$e^{3x}=50$.

Vi anvender nå del (a) av teoremet og definisjonen av den naturlige logaritmen

$3x=\ln 50$.

Dermed har vi at

$x=\frac{\ln 50}{3}\approx 1,3$.

Det tar litt over en dag før bakteriekulturen er på over $100$ millioner.