www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Den Briggske logaritmen

Hva er den Briggske logaritmen?

Definisjon

Gitt et positivt tall x så er logaritmen til x, log x, definert som det unike tallet som oppfyller egenskapen 10log x=x.

Vi merker først at  log x ikke er definert for negative tall eller null: uansett hva vi velger å opphøye 10 i kommer vi til å få et positivt tall tilbake. Fra et intuitivt perspektiv er det greit å lese  log x som “tallet du må opphøye 10 i for å få x.”

Eksempel 1

Logaritmen til 1 er simpelthen 0, fordi 100=1.


Eksempel 2 

La oss regne ut log 0,01. Vi vet at 0,01=1100=1102=10-2. Dermed er log 0,01=log 10-2=-2.
 

Eksempel 3

Logaritmen til 100000 er 5, da 100000=105.

Før vi begynner å se på praktiske eksempler er det nyttig å kunne regne litt med logaritmer. Det følgende teoremet tar for seg de grunnleggende logaritmereglene:

Teorem

(a) log xy=ylog x

(b) log xy=log x +log y

(c) log xy=log x-log y

Bevis

(a) Per definisjon har vi at 10log xy=xy. Men hva om vi ser på ylog x? Vi husker fra potensreglene at abc=abc. Ved å anvende denne regelen har vi at

10ylog x=10log xy=xy

og vi har vist (a).

 

(b) Vi husker igjen fra potensreglene at ab+c=abac. Det følger at

10log x +log y=10log x10log y=xy=10log xy

og vi har vist (b).

 

(c) Husk at ab-c=abac. Det følger at

10log x -log y=10log x10log y=xy=10log xy

og vi har vist (c).


Eksempel 4 

En sykdom bryter ut i en storby hvor det bor fire millioner mennesker. 500 er smittet, og antall smittede tredobles hver hver uke. Hvor lang tid tar det før alle er smittet om vi antar at ingen blir friske underveis?

Antall smittede etter x uker kan skrives som fx=5003x. Dermed er vi bedt om å løse likningen

5003x=4106.

Om vi først dividerer begge sider av likningen med 500 får vi

3x=8000.

Vi tar logaritmer på begge sider

log 3x=log 8000

og vi kan bruke (a) i teoremet og skrive om likningen til

xlog 3=log 8000.

Dividerer vi med log 3 begge sider av likningen, er vi ferdige da

x=log 8000log 38,2.

Dermed tar det litt over 8 uker før hele byen er smittet.


Eksempel 5

Prisen på en matvare øker med 4% hvert år. Om den originale prisen er 20 kr når er prisen 30 kr eller over?

Prisen etter x år er gitt ved formelen 201,04x. Likningen vi ønsker å løse er

201,04x=30.

Vi dividerer begge sider med 20 og får at

1,04x=32.

Dermed tar vi logaritmer på begge sider, bruker (a) i teoremet og får

xlog 1,04=log 32.

Løsningen

x=log 32log 1,0410,3.

Dermed tar det 11 år før prisen er over 30 kr.

Publisert: 15.07.2015 Endret: 20.07.2015