www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Uendelige rekker

Hvordan ser en uendelig rekke ut? Når har vi bruk for uendelige rekker?

Rekkene med endelig antall ledd gir oss én verdi. Partiellsummene i endelige rekker ser ut som  sn=a1+...+an. Dette er ikke tilfellet med uendelige rekker.

DEFINISJON

Uendelige rekker er på formen

a1+a2+...=ann=1.

Den uendelige rekken konvergerer mot s hvis s=limnsn ellers divergerer rekken.

Eksempel 1

Rekken 1n=1 divergerer, fordi sn=n og limnsn.

 

Eksempel 2

La oss se at rekken n=012n=2.


Denne rekken er geometrisk med kvotienten k=12. Vi vet at

sn=a1kn-1k-1=12n-1-12.


Når n går 12n-10 og vi har at s=limnsn=-1-12=2.

TEOREM

En uendelige geometrisk rekke n=1an der k-1,1 vil konvergere mot a11-k.

Bevis

 Vi vet at Fordi k<1 vet vi at limnkn=0. Dermed er limnsn=s=-a1k-1. Multipliserer vi med -1 på begge sider får vi det ønskede resultatet.

 

Eksempel 3

En laksebestand har holdt seg stabil på 700 over flere år. Vi ønsker at bestanden skal øke til 1900 og stabilisere seg der. Dette gjøres ved å tilføer en viss mengde laks til elven hvert år. Om L er antall laks i elven ved slutten av året, innfører vi kL laks, hvor 0<k<1. Finn k.

Vi har en uendelig geometrisk rekke

n=1700kn-1. 

Vi trenger at

s=7001-k=1900

og finner at k0.63.

 

Eksempel 4

Anta at en uendelig rekke er gitt ved

n=03xn for x .

Finn verdiene for x slik at rekken konvergerer.

Vi merker at dette er en geometrisk rekke

31+x+x2+x3+...

med kvotient k=x. Dermed konvergerer rekken for x-1,1.

Publisert: 09.07.2015 Endret: 24.08.2015