www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Projeksjon

Hva er projeksjon og hvordan finner vi den?

Eksempel 1

Tenk deg at du trekker et leketog etter en snor. Toget må følge et rettlinjet spor fra origo til punktet 4,4, det beveger seg altså langs posisjonsvektoren u=4,4. Kraften du trekker med, kan representeres som en vektor F, men du holder snoren litt skeivt, slik at kraftvektoren ikke er helt parallell med togets bevegelse u. Vi har F=2,1. Vi er interessert i å vite hvor stort bidrag trekkraften din gir i togets retning.

Sett ovenfra: Leketoget må følge sporet (stiplet linje). Du trekker med en kraft F ⃗=[2,1]. Projeksjonen p ⃗ angir den delen (komponenten) av trekkraften som bidrar i togets retning.Sett ovenfra: Leketoget må følge sporet (stiplet linje). Du trekker med en kraft F ⃗=[2,1]. Projeksjonen p ⃗ angir den delen (komponenten) av trekkraften som bidrar i togets retning.

For å finne dette bidraget skal vi finne projeksjonen av F langs u. Det er en vektor som er parallell med u.

PROJEKSJON

La u og v være vektorer fra samme rom. Projeksjonen av u langs v er vektoren

p=uvvvv=uvv2v

 

Eksempel 1 fortsetter

Nå kan vi finne vektoren som beskriver bidraget fra trekkraften din i togets retning:

p=Fuuuu=2,14,44,44,44,4=8+416+164,4=12324,4=32,32

Dette er komponenten av kraftvektoren som går i samme retning som toget.

 

Eksempel 2

Vi skal finne projeksjonen p av vektoren 0,10 på vektoren 2,4.

p=0,102,42,42,42,4=0+404+162,4=22,4=4,8 

 

Eksempel 3

Vi skal finne projeksjonen av vektoren 1,7,-3 på enhetsvektoren i y-retningen, j=0,1,0.

p=1,7,-30,1,00,1,00,1,00,1,0=0+7+00+1+00,1,0=70,1,0=0,7,0=7j

Vi fikk ut y-koordinaten til vektoren. Dette gjelder også generelt.

 

PROJEKSJON PÅ EN ENHETSVEKTOR

Projeksjonen av en vilkårlig vektor på en av enhetsvektorene i, j eller k gir oss bare komponenten langs den aktuelle aksen.

 

Eksempel 4

Vi skal finne projeksjonen av vektoren u=-3,5,2 på vektoren v=4,0,6.

p=-3,5,24,0,64,0,64,0,64,0,6=-12+0+1216+0+364,0,6=04,0,6=0

Overrasket? Projeksjonen er nullvektoren, fordi u ikke har noen komponent i retning v. Og dette skyldes at vektorene u og v er ortogonale, det vil si de står vinkelrett på hverandre. Ettersom de er ortogonale, er prikkproduktet av de to vektorene 0, og projeksjonen er nullvektoren 0.

 

Publisert: 30.06.2015 Endret: 02.07.2015