www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Derivasjon av vektorfunksjoner 3

Vi har en 

Vektorfunksjon

En vektorfunksjon r(t) er en funksjon av en variabel t som gir en vektor fra origo for hver t:

r(t)=[x(t),y(t)]

vektorfunksjon

rt=xt,yt=2t,-35t2+6t          

som beskriver posisjonen til en ball som blir kastet bortover en slette. t er tiden. Vi er interessert i å finne farten til ballen.

Vi begynner med å finne gjennomsnittlig fart i en periode. Vi vil finne gjennomsnittlig fart mellom en tid t og t+h.

Vi definerer

Δr=rt+h-rt.

Eksempel

Hvis vi har t=1 og h=1 får vi

Δr=r2-r1=22,-3522+62-21,-3512+61           

=4,485-2,275=2,215.

Δr er endringen i posisjon i løpet av h sekunder etter tidspunktet t. For å finne gjennomsnittlig endring, deler vi simpelthen på h:

vh=Δrh=2,2151=2,215.

La nå h gå mot null og finn gjennomsnittlig fart i et mindre og mindre tidsrom. Når vi lar h gå mot null, går Δr mot å tangere kurven i punktet t. vh er Δr delt på en konstant, og har derfor samme retning som Δr, så også vh går mot å tangere kurven.

La oss se hva som skjer med vh når h går mot null. Husk at rt=xt,yt.

 vt=limh0Δrh            

=limh0rt+h-rth 

=limh0xt+h,yt+h-xt,yth

=limh0xt+h-xth,yt+h-yth

=limh0xt+h-xth,limh0yt+h-yth

=x't,y't.

Vi ser altså at vi ender opp med en fartsvektor vt=x't,y't som er retningsvektor for tangenten til grafen i t. Den angir da både retningen ballen beveger seg i og hvor fort det går i t. Dette er den deriverte av vektorfunksjonen.

Definisjon. den deriverte av en vektorfunksjon

For en vektorfunksjon rt , er den deriverte, hvis den eksisterer, gitt ved

r't=limh0rt+h-rth=x't,y't

 

Eksempel på bruk av definisjonen

Vi ser på det samme eksempelet med en ball som blir kastet:

            rt=2t,-35t2+6t

Da har vi:

            r't=x't,y't=2,-65t+6

La oss se på den deriverte i t=5:

            r'5=2,-655+6=2,0

Da er ballen i punktet r5=10,15.

Legg merke til at ballen i dette punktet bare beveger seg i x-retning, den har altså sluttet å bevege seg oppover og har enda ikke begynt å bevege seg nedover. Dette er altså toppunktet.

Publisert: 25.06.2014 Endret: 08.12.2014