www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Å finne tangenten - introduksjon

Her skal vi ved eksempler vise hvordan man går fram for å finne tangenten til en funksjon.

La funksjonen gx=ex4-1 beskrive pengene i sparekontoen din over tid. Du lurer på hvordan summen kommer til å utvikle seg hvis den fortsetter å vokse nøyaktig slik den vokser etter 4. Du vil finne en funksjon som beskriver denne utviklingen. Denne funksjonen skal ha samme stigning som gx har etter 4 måneder og ha samme verdi i det punktet, altså gx.

Vi er da ute etter 

Tangent

En tangent til en kurve i et punkt er en linje som går gjennom punktet, men bare akkurat rører kurven der.

tangenten
tx til gx i x=4. Tangenten er en lineær funksjon, så den har formen tx=ax+b. Vår oppgave er å finne tallene a og b som gir riktig funksjon.

Vi vet at tangenten skal ha samme stigningstall a som stigningen til gx i x=4 (etter 4 måneder), så vi finner den deriverte av gx i 4.

 g'x=14ex4

 g'4=14e0,68

a=0.68.

Nå har vi tx=0,68x+b. Vi vet at tangenten tangerer gx i x=4, altså må g4=t4.

 g4=t4

 e44-1=14e4+b

 b=-1

Vi har da funnet tangenten tx=0,68x-1 (For å tegne funksjonen holder det å bruke den avrundede verdien for A).

 

Generelt: Vi vil finne tangenten fx til en funksjon fx i et punkt x=c.

Tangenten har formen tx=ax+b. a er stigningstallet, og det må være den samme som stigningen til fx i punktet c. Dermed har vi at

            a=f'c

funksjonene tx og fx skal berøre hverandre i x=c, altså har vi

            fc=tc

            a=f'c

            a=f'c

            b=fc-f'cc

Nå har vi en generell formel for tangenten tx til en funksjon fx i punktet x=c:

            tx=ax+b

            a=f'c

            b=fc-f'cc


Eksempel

Oppgave. Finn tangenten til fx=4x3+2 i 1.

Løsning.

Vi starter med å derivere ff'x=43x2

Vi får altså

a=f'1=4312=12

b=fc-f'cc=6-12=-6

Så vi får gx=12x+6.

 

Publisert: 25.06.2014 Endret: 08.12.2014