www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Definisjon av den deriverte

Vi har kommet fram til at momentan vekstfart til en funksjon  f(x)a, er stigningstallet til tangenten til funksjonen i a. Tangenten kan finnes grafisk eller med lommeregner, men dette er jo håpløst unøyaktig! Som gode matematikere vil vi helst ha en matematisk metode for å finne dette stigningstallet.

Vi er ønsker å finne en metode for å regne ut momentan vekstfart for f(x) i et punkt x. Vi starter med to punkter x og (x+h)x-aksen og tegner

Sekant

Sekant

En linje som skjærer en kurve. En korde er en del av en sekant. En sekant er ikke det samme som en tangent.

sekanten
mellom (x,f(x)) og (x+h, f(x+h)), det vil si at vi tegner den rette linja som skjærer funksjonen i disse to punktene (vist på figuren under).

Stigningstall

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen. På figuren øker vi med 1 enhet på x-aksen, a1 = 1. Dette gjør utslag i at vi øker med to enheter på y-aksen; a2 = 4 - 2 = 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

Stigningstallet
til denne sekanten er det vi tidligere omtalte som

Gjennomsnittlig vekstfart

En funksjon f(x) har gjennomsnittlig vekstfart 

ΔyΔx=f(x2 ) -f(x1)x2-x1 

 mellom x2 og x1. Dette er gjennomsnittlig økning i y-retning per økning i x-retning på intervallet.

gjennomsnittlig vekstfart
mellom x og x+h:

ΔyΔx=f(x+h)-f(x)h

Hvis vi lar h bli mindre og mindre, så nærmer sekanten seg mer og mer tangenten, fordi punktet (x+h,f(x+h)) kommer nærmere og nærmere (x,f(x)).

Stigningstallet til tangenten blir grenseverdien  til stigningen til sekanten når h går mot null:

limh0f(x+h)-f(x)h

 

Hvis denne grensen eksisterer kaller vi den den deriverte av fx.

 

Definisjon

Den deriverte til fx er f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h.

Det er mange notasjoner for den deriverte (kjært barn har mange navn!). Hvis f(x)=x2+3x , kan skrive den deriverte som

f'(x),        f,       [x2+3x]',     dfdx

 

Eksempel 1

Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen f(x)=x2.

Løsning.

f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0(x+h)2-x2h=limh0x2+2xh+h2-x2h
=limh02xh+h2h=limh02xhh+h2h=limh02x+h=2x

 

Eksempel 2

Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen f(x)=1x.

Løsning.

f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh01x+h-1xh=limh0xx(x+h)-x+hx(x+h)h
=limh0x-x-hhx(x+h)=limh0-hhx(x+h)=limh0-1x(x+h)=-1x2

Geometrisk eksempel

Den deriverte er selv en funksjon, som vi har sett: Man tegner linja som i hvert punkt består av grenseverdien i definisjonen over. I de to GeoGebra-arkene under kan du prøve dette selv, og se på to forskjellige funksjoner hvordan den deriverte er bygget opp. Hvis du flytter punktet A langs funksjonen vil du se at punktet B, som angir den deriverte, flytter seg. Om du så høyreklikker på B og velger "trace on" vil du kunne flytte A fram og tilbake og få fram den deriverte til funksjonen.

Derivasjon 1   Derivasjon 2

 

Publisert: 02.04.2014 Endret: 13.12.2014