www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Delte funksjoner og kontinuitet

Noen ganger har vi bruk for å «dele» funksjoner i to eller flere biter. Vi kan for eksempel tenke oss en funksjon f som er slik at fx=ex for alle negative x-verdier, mens fx=1x når x0. I dette tilfellet skriver vi

 fx={ex,1x, 
for x<0,
for x0,
      eller        fx={ex,1x, 
for x(,0),
 x[0,). 

 

Slike funksjoner kaller vi funksjoner med delt forskrift, eller bare delte funksjoner. På figur 1 under, er grafen til f tegnet inn. Her ser du tydelig hvordan grafen til f endrer karakter i x=0. De punktene der funksjonsuttrykket skifter, kaller vi bruddpunktene til funksjonen.

Dersom grafen henger sammen i bruddpunktet (slik at du kan tegne grafen uten å løfte pennen fra papiret), sier vi at grafen er 

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en funksjon uten "hopp" – for en funksjon man kan tegne vil det si at den kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret.

kontinuerlig
i bruddpunktet. I motsatt fall, som på figur 2 under, er grafen diskontinuerlig i bruddpunktet.

 

 
Figur 1: Grafen til fx. Grafen er kontinuerlig i bruddpunktet x=0.         Figur 2: En graf som er diskontinuerlig i bruddpunktet x=0.

 

Eksempel

Oppgave. En T-banebillett er gratis for barn under 4 år, koster 10 kr for barn (f.o.m 4 år t.o.m 15 år), 20 kr for voksne (16-66 år) og 10 kr for de fra 67 år og oppover. Skriv billettprisen p som en funksjon av alderen x, og tegn grafen til p. (Alderen x trenger ikke å være et heltall. En person kan f.eks. være 15,7 år.) 

Løsning. Observér først at siden en alder ikke kan være negativ, er definisjonsmengden til p intervallet [0,). Beskrivelsen i teksten forteller at når x er i intervallet

Figur 3: Billettprisen p uttrykt som funksjon av alderen x.

 

[0,4), er px=0. Videre er px=10 når x[4,16), px=20 når x[16,67), og px=10 når x[67,). Dermed får vi at

 px=   {0,10,20,10, 
for x[0,4),
for x[4,16),
for x[16,67),
for x[67,).

 

Siden funksjonsuttrykket er det samme i intervallene [4,16) og [67,), kan vi skrive funksjonen enda mer kompakt –- om enn noe mindre leservennlig –- ved å bruke

 px=   {0,10,20, 
for x[0,4),
for x[4,16)[67,),
for x[16,67).

 

 

Grafen til px ser du i figur 3.

Publisert: 17.02.2014 Endret: 28.11.2014