www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Å bygge funksjoner

Vi har nå sett hva funksjoner er, og sett på noen av de viktige typene av funksjoner. Det siste vi skal gjennom her er hvordan vi kan få enda flere forskjellige funksjoner. Dersom f og g er to funksjoner, kan vi "bygge" nye funksjoner ut fra disse to. Det er to hovedmåter vi kan gjøre dette på.

Den mest opplagte metoden er å bruke de 4 regneartene. Hvis for eksempel

 fx=x+1     og    gx=x3,   

 
kan vi lage nye funksjoner ved å legge dem sammen (x+1+x3), trekke dem fra hverandre (x+1x3 og x3x+1), gange dem sammen (x+1x3) eller dele den ene på den andre (x+1x3 og x3x+1).

Den andre metoden er å sette funksjonene inni hverandre. Med f og g som over, får vi med denne teknikken de to funksjonene

 fgx=x3+1       og       gfx=(x+1)3=(x+1)32 

Den innerste funksjonen kalles ofte kjernen i det sammensatte uttrykket. Funksjoner som er bygget opp på denne måten, er utgangspunktet for den berømte kjerneregelen. Teoremet under oppsummerer diskusjonen over og gjør rede for definisjonsmengdene til de nye funksjonene. Beviset for teoremet følger fra definisjonen av en funksjon, men vi hopper over dette flisespikkeriet her. (Ikke la deg lure av at vi setter opp dette som et fancy teorem - det meste er rene selvfølgeligheter.)

Teorem. Anta at fx og gx er funksjoner med 

Definisjonsmengde

Definisjonsmengden til en funksjon f(x) er det intervallet av x-verdier funksjonen er definert for. Eksempel:

f(x)=1x    for x(0,)

har definisjonsmengde (0,) . Legg merke til at funksjonen ikke kan være definert i x=0 fordi vi ikke kan dele på 0.

definisjonsmengdene
Df og Dg. Da er følgende uttrykk også funksjoner:

a) fx+gx    b) fx-gx     c) gx-fx     
d)  fxgx e)  fxgx f)  gxfx
g)  fgx h)  gfx    

 

  • Funksjonene i a)-d) er definert der både f og g er definert. Definisjonsmengden blir altså DfDg.
     
  • I e) og f) blir definisjonsmengden DfDg minus de punktene der nevneren er lik null.
     
  • Funksjonen fgx er definert for alle x  Dg som er slik at gx  Df. Tilsvarende for gfx.
Publisert: 05.02.2014 Endret: 28.11.2014