www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Introduksjon til derivasjon – gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Du skal ut på fjelltur og lurer på omtrent hvor langt du kommer på en dag. Dette avhenger av hvor langt du går, men også hvor bratt stigningen på turen er. Stigningen er et mål på hvor fort det går oppover, altså hvor mye du går oppover for hver meter du beveger deg i vannrett retning.
Du velger deg to steder på fjellet – et start- og et stoppunkt. Vi antar for enkelhets skyld at du går rett opp, altså at stien ikke svinger. Du finner ut hvor langt det er mellom start og stopp i vannrett retning (langs x-aksen) og hvor langt det er mellom de to i loddrett retning (langs y-aksen). Vi kaller disse avstandene for Δx og Δy. Nå blir stigningen forholdet mellom Δy og Δx, ΔyΔx, altså, hvor mye går vi oppover for hver enhet vi går bortover.

 

Gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart:

Hvis vi nå tenker oss at høyden til fjellet er bestemt av x ved en funksjon f(x), kan vi lage en definisjon for den gjennomsnittlige vekstfarten. Det er farten funksjonen ville steget i dersom den steg like raskt hele veien.

Definisjon. Gjennomsnittlig vekstfart

Den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon fx mellom to punkter på x-aksen, x1 og x2, er

ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1.

Hvis vi flytter de to punktene nærmere og nærmere hverandre, kan vi tenke oss at vi kommer nærmere og nærmere en slags stigningsfart i ett punkt. Gir det mening? Kan vi finne vekstfarten til en funksjon, ikke på et intervall, men rett og slett i et punkt? Svaret er ja, og dette kaller vi momentan vekstfart. Ta eksempelet med fjellet igjen. Hva ville skjedd hvis fjellet fortsatte å ha samme vekstfart, ha den samme stigningen, som i et punkt a videre? Da ville funksjonen sett ut som en lineær funksjon t(x) som går gjennom punktet (a,f(a)) og har samme stigning som f har i punktet a.

Stigningstall

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen. På figuren øker vi med 1 enhet på x-aksen, a1 = 1. Dette gjør utslag i at vi øker med to enheter på y-aksen; a2 = 4 - 2 = 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

Stigningstallet
til t(x) blir da den momentane vekstfarten til f(x) i a.

Definisjon. Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen fx når x=a er stigningstallet til 

Tangent

En tangent til en kurve i et punkt er en linje som går gjennom punktet, men bare akkurat rører kurven der.

tangenten
til kurven i punktet.

Publisert: 19.01.2014 Endret: 23.09.2014