Kontinuitet

Som matematikere må vi ha en mer presis definisjon enn at man ikke trenger å løfte hånda fra papiret når man tegner. Vi trenger noe vi kan bruke på en funksjon som er oppgitt ved hjelp av formler – det er ikke alle funksjoner vi kan tegne for å teste kontinuitet. Nå som vi vet hva en grenseverdi er kan vi definere kontinuitet skikkelig:

Definisjonen over er kanskje litt vanskelig å lese hvis man ikke er vant til grenseverdier. En mindre formell måte å tenke på det på er at når $x$ nærmer seg $a$, nærmer funksjonsverdien i $x$ seg funksjonsverdien i $a$. Det vil si at når du beveger deg langs $x$-aksen kommer det ikke noen plutselige "hopp" i funksjonen, altså henger linja du tegner sammen.

En del funksjoner er kontinuerlige overalt – for eksempel er $f\left(x\right)=x^2$ det. Da sier vi ofte bare at $f$ er kontinuerlig. Man kan vise at de aller fleste "standardfunksjonene" vi jobber med er kontinuerlige i sine definisjonsområder. Dette gjelder for eksempel

• potensfunksjoner, som $x,\sqrt{x}$ og $\frac{1}{x}$,
• eksponential- og logaritmefunksjoner, som $e^x,2^x$ og $\text{ln}x$,
   
• de trigonometriske funksjonene sin $x$, cos $x$ og tan $x$.

Under har vi tegnet en funksjon som ikke er kontinuerlig: