www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Hypergeometriske forsøk

På denne siden skal vi se på hva et hypergeometrisk forsøk er.

Et hypergeometrisk forsøk har følgende egenskaper:

  1. Det er totalt n gjenstander av to (eller flere) typer. 
  2. Antallet gjenstander av type 1 er n1 og antallet gjenstander av type 2 er n2, slik at n1+n2=n.
  3. Det skal trekkes et uordnet utvalg uten tilbakelegging av størrelse k.

Det som interesserer oss er sannsynligheten for at det blir akkurat k1 gjenstander av type 1 og k2 gjenstander av type 2, hvor k1+k2=k. 

Et rektangel er delt i to hvor de to delene henholdsvis symboliserer mengden n1 og n2. I hver del finnes det en sirkel som representerer den tilsvarende mengde k1 eller k2.

Bildet over illustrerer godt hvordan et hypergeometrisk forsøk fungerer. Det røde området betegner alle elementer av type 1 og det blå av type 2. Til sammen utgjør de alle de n gjenstandene. De to gule sirklene markert med k1 og k2 er antall objekter som skal trekkes fra henholdsvis type 1 og 2.

For hypergeometriske forsøk gjelder følgende regel:

regel

Sannsynligheten for å trekke nøyaktig k1 gjenstander av type 1 og k2

gjenstander av type 2 i et hypergeometrisk forsøk beskrevet over, er gitt ved

                                        (n1k1)(n2k2)(nk)

hvor (n1k1),(n2k2) og (nk) er binomialkoeffisientene.

 

Nå skal vi se på et par eksempler.

Kundeevaluering

Bildet er hentet fra www.psykiskhelsearbeid.no/
handbok_evaluering/Bildet er hentet fra www.psykiskhelsearbeid.no/ handbok_evaluering/

En dagligvarebutikk har gjennomført en undersøkelse blant kundene. 12 av kundene som deltok er misfornøyde. Blant disse er det åtte kvinner og fire menn. Butikksjefen ønsker å velge ut tre tilfeldige kunder blant de misfornøyde for å få mer informasjon om hva de ville forbedret. Hva er sannsynligheten for at det blir to kvinner og én mann?

Antall måter å trekke to kvinner på er

 (82)=872=28. 

Det er

 (41)=41=4 

måter å trekke ut en mann. Det finnes i alt

(123)=121110321=220 

måter å trekke tre personer fra en mengde av 12 mennesker.

Sannsynligheten for at det blir to kvinner og en mann er da lik

 (82)(41)(123)=284220=0,51.

Frukt til tur

Karoline skal ha med frukt til en gåtur i skogen. Hun skal ta med fem stykker, og har så dårlig tid at hun bare drar med seg noen fra en kasse hun har stående. I kassen er det 10 pærer og 20 epler. Hva er sannsynligheten for at hun tar med seg tre pærer og to epler?

Dette er et hypergeometrisk forsøk siden Karoline skal trekke 5 frukter og har to ulike typer.

Vi har at n1=10,n2=20,n=n1+n1=30,k1=3,k2=2 og k=k1+k2=5.

Sannsynligheten for at Karoline velger 3 pærer og 2 epler er

 (103)(202)(305)=120190142506=0,16.

Publisert: 12.08.2013 Endret: 17.11.2016

Begrep

  • Binomialkoeffisient

    Binomialkoeffisienten

     (nm)=n!m!(nm)! 

    hvor n!=n(n1)21

    forteller hvor mange måter det kan trekkes m objekter ut fra en samling av n gjenstander uten tilbakelegging.

  • Hypergeometrisk forsøk

    Et hypergeometrisk forsøk har følgende egenskaper:

    1. Det er totalt n gjenstander av to (eller flere) typer. 
    2. Antallet gjenstander av type 1 er n1 og antallet gjenstander av type 2 er n2, slik at n1+n2=n.
    3. Det skal trekkes et uordnet utvalg uten tilbakelegging av størrelse k.
  • Uordnede utvalg

    Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i ikke er viktig, sier vi at dette er et uordnet utvalg.

  • Uten tilbakelegging

    Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.