www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Sannsynlighet ved komplementære hendelser

I enkelte tilfeller kan det være fornuftig å gå via komplementære hendelser for å beregne sannsynligheter. Hvis en vi har en begivenhet A i et utfallsrom, vil den komplementære hendelsen til A (Ac) være alle hendelser som ikke er A. Dersom A er den blå sirkelen i Venn-diagrammet under, vil Ac være alt utenom det blå området.

Et venndiagram der utfallsrommet er tegnet som et rektangel med symbol U. Mengden A som er en bestemt begivenhet i utfallsrommet er representert med en sirkel inn i U.

Husk at ifølge definisjonen er A og Ac alltid disjunkte og deres union er alltid lik hele utfallrommet U, AAc=U. Det er 100% sannsynlig å treffe et av utfallene i utfallsrommet og derfor er P(U)=1

Dette gir oss at

P(AAc)=P(A)+P(Ac)=1. 

Merk at den første likheten får vi ved addisjonssetningen. Vi kan utlede en ny regel.

REGEL

 P(Ac)=1P(A)   

Regelen kan også omskrives til P(A)=1P(Ac).

 

Karakter på en norskprøve

På en norskprøve i en skoleklasse fikk 20% av elevene seks og 35% fem. Vi velger en tilfeldig elev i klassen. Hvor stor er sannsynligheten for at eleven fikk mindre enn fem på prøven?

Vi lar begivenheten A være at eleven får seksP(A)=20%.

Vi lar begivenheten B være at eleven får fem, P(B)=35%.

La D være at eleven får enten seks eller fem. Da kan vi regne ut at

 P(D)=P(AB)=P(A)+P(B)=20%+35%=55%.

Sannsynligheten for at eleven fikk dårligere karakter enn fem er sannsynligheten for den komplementære hendelsen til D, og er lik

 P(Dc)=1P(D)=155%=45%.

Publisert: 10.08.2013 Endret: 17.11.2016

Begrep

  • Addisjonssetningen

    Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheter for alle snitt av hendelsene. P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).

  • Begivenhet

    En delmengde av utfallsrommet. Den består av ett eller flere utfall.

    ·         Å få 6 på en matematikkprøve er et eksempel på en begivenhet. Å få bedre enn 3, altså 4, 5 eller 6, er et annet eksempel på en begivenhet.

  • Disjunkte hendelser

    A og B kalles disjunkte dersom de ikke har noen felles elementer. Dette betyr at AB=, altså at det ikke er noen elementer som er både i A og i B.

  • Komplement

    Komplementet til A, betegnet med Ac, består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, Ac=UA.

  • Sannsynlighet

    Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en ting skal hende.
    En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

    Sannsynlighet 0 betyr at en ting helt sikkert ikke skjer.
    Sannsynlighet 1 betyr at en ting helt sikkert skjer.

    Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

    Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

  • Utfall

    Mulig resultat av en hendelse.

    Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks.

  • Utfallsrom

    Alle mulige utfall en hendelse kan ha. Utfallsrom betegnes med U.

    Eksempelvis har karakteren på en matematikkprøve utfallsrommet U={1,2,3,4,5,6}.