www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Addisjonssetningen

En kombinert begivenhet er unionen av flere hendelser. Addisjonssetningen bruker vi når vi ønsker å finne sannsynligheten for en kombinert begivenhet. Setningen sier at vi finner sannsynligheten for en kombinert begivenhet ved først å legge sammen sannsynligheter for hver enkel hendelse for så å trekke fra sannsynligheter som er telt flere ganger (snittet av hendelsene).

ADDISJONSSETNING

 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) 

 

Hvis A og B er to disjunkte hendelser, er P(AB)=0, hvilket medfører at

 P(AB)=P(A)+P(B). 

La oss illustrere addisjonssetningen med et Venn-diagram.

To sirkler markert henholdsvis med A og B ligger inn i rektangelet U. Fargen til A er blå, fargen til B er gul, mens felles arealet til A og B er grønt.

Unionen av A og B, AB, er det blå, grønne og gule området som er dekket av de to sirklene. Unionen skal være lik A+BAB, fordi i A+B har vi tatt med det felles arealet AB to ganger (både i A og i B). Vi må med andre ord trekke fra summen av det grønne området for å kompensere. Hvis A og B er to disjunkte hendelser, har de ikke noe felles areal og derfor er AB=A+B.

Handletur uten handleliste

Den mest glemsomme i gjengen fikk ansvar for å ta med seg pålegg på hytteturen. Handlelisten bestod av gulost, brunost, kokt skinke, spekeskinke, smør og majones. Den glemsomme glemte å ta med handlelisten til butikken, og glemte én av tingene han skulle ha tatt med.

Vi antar at det er like stor sannsynlighet for at han glemmer hver av dem, og lar begivenheten A={gulost,skinke} være at han glemte å kjøpe gulost eller skinke, og B={skinke,majones} være at han glemte å kjøpe skinke eller majones. Hva er sannsynligheten for at han glemte enten ost, skinke eller majones, altså for et utfall i unionen AB?

Den enkleste måten å finne P(AB)=P({ost,skinke,majones}) er å dele antall gunstige utfall på antall mulige, som er

 36=12=50%.

Vi kan også tenke oss fram til dette på en annen måte:

 P(A)=26=13,P(B)=26=13 og P(AB)=P({skinke})=16.

I følge addisjonssetningen blir

 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=13+1316=12=50%,

som er den samme som vi fikk ved den første løsningsmetoden.

Publisert: 10.08.2013 Endret: 17.11.2016

Begrep

  • Addisjonssetningen

    Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheter for alle snitt av hendelsene. P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).

  • Begivenhet

    En delmengde av utfallsrommet. Den består av ett eller flere utfall.

    ·         Å få 6 på en matematikkprøve er et eksempel på en begivenhet. Å få bedre enn 3, altså 4, 5 eller 6, er et annet eksempel på en begivenhet.

  • Disjunkte hendelser

    A og B kalles disjunkte dersom de ikke har noen felles elementer. Dette betyr at AB=, altså at det ikke er noen elementer som er både i A og i B.

  • Sannsynlighet

    Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en ting skal hende.
    En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

    Sannsynlighet 0 betyr at en ting helt sikkert ikke skjer.
    Sannsynlighet 1 betyr at en ting helt sikkert skjer.

    Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

    Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

  • Snitt

    Snittet av to mengder A og B er en ny mengde AB som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

  • Union

    Unionen av to mengder A og B er en ny mengde AB som består av alle elementer som forekommer i minst en av A og B.

  • Utfall

    Mulig resultat av en hendelse.

    Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks.