www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Venn-diagram og mengdelære

Hva mener vi med unionen og snittet av to mengder? Hva er et Venn-diagram, og hva brukes det til?

Husk at et utfallsrom består av alle mulige utfall i et forsøk. Tenk at vi tegner opp hele utfallsrommet U som et rektangel, og innholdet i rektangelet skal representere alle elementene i utfallsrommet. Deretter tegner vi begivenheter som sirkler inne i utfallsrommet. Dette kalles et Venn-diagram, og er en abstrakt måte å representere utfall på. Dette betyr at man ikke skal henge seg opp i akkurat hvor ting er plassert, det viktige i et Venn-diagram er at det viser forholdet mellom utfall.

Venn-diagrammet for en begivenhet A ser ut som:

Et venndiagram der utfallsrommet er tegnet som et rektangel med symbol U. Mengden A som er en bestemt begivenhet i utfallsrommet er representert med en sirkel inn i U.

Anta nå at A og B er to begivenheter i utfallsrommet UDet er lurt å repetere definisjonen av union, snitt, differanse, kompliment og disjunkte mengder. Begrepene kan du finne under Begrep til høyre.

La oss nå se på noen spesielle egenskaper ved blant annet union og snitt.

  1. Unionen mellom en mengde og hele utfallsrommet er alltid lik utfallsrommet, altså AU=U.
  2. Snittet av en mengde og hele utfallsrommet er alltid lik mengden du startet med, altså AU=A.
  3. En mengde og sitt komplement er alltid disjunkte, og unionen av dem danner hele utfallsrommet. Kort notert: AAc= og AAc=U.
  4. For disjunkte mengder A og B er AB=A og BA=B.

Eksempel.

La utfallsrommet være U = {rød, hvit, blå, gul, grønn, svart }, begivenheten A = {rød, gul }, begivenheten B = {blå, gul } og begivenheten C = {hvit }. Vi tegner A og B i et Venn-diagram, der vi lar hvit, grønn og svart representeres samlet ved en lilla farge.

To sirkler markert henholdsvis med A og B ligger inn i et grått rektangel U. Fargen til A er rød, fargen til B er blå, mens felles arealet til A og B er gult.

Unionen av A og B er lik det røde, blå og gule området dekket av de to sirklene, AB= {rød, gul, blå }.

Snittet av A og B er det gule området som er i både A og B, AB= {gul }.

Differansen mellom B og A er det området som er med i A, men ikke i B, altså det røde området. AB= {rød }.

Differansen mellom A og B er det området som er med i B, men ikke i A, altså det blå området. BA= {blå }.

Komplementet til A er hele området i utfallsrommet som ikke er A, altså de blå og lilla områdene. Som vi sa består det lilla området av alle utfallene i hele utfallsrommet bortsett fra A og B, det vil si hvit, grønn og svart. Derfor er Ac= {blå, hvit, grønn, svart}.

Hvis vi ser på tilsvarende for begivenhetene A og C, ser Venn-diagrammet annerledes ut. Dette skyldes at begivenhetene A og C er disjunkte. Hvis vi nå lar det lilla området representere blå, gul, grønn og svart kan Venn-diagrammet for A og C tegnes som:

I et grått rektangel med symbol U står det to selvstendige sirkler som ikke overlapper hverandre. Sirklene er henholdsvis rød og hvit og representerer mengder A og C.

Prøv nå selv å finne AC,AC,AC,CA,Cc,AU og AU.

Svar:

 AC= {rød, gul, hvit }

 AC= {}

 AC=A= {rød, gul }

 CA=C= {hvit }

 Cc= {rød, blå, gul, grønn, svart }

 AU=U= {rød, hvit, blå, gul, grønn, svart }

AU=A= {rød, gul }

Publisert: 09.08.2013 Endret: 06.01.2014

Begrep

  • Differanse (mengder)

    Differansen mellom A og B betegnes med BA og er menden av alle elementer som er i B men ikke i A.

  • Disjunkte hendelser

    A og B kalles disjunkte dersom de ikke har noen felles elementer. Dette betyr at AB=, altså at det ikke er noen elementer som er både i A og i B.

  • Komplement

    Komplementet til A, betegnet med Ac, består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, Ac=UA.

  • Snitt

    Snittet av to mengder A og B er en ny mengde AB som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

  • Union

    Unionen av to mengder A og B er en ny mengde AB som består av alle elementer som forekommer i minst en av A og B.

  • Utfall

    Mulig resultat av en hendelse.

    Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks.

  • Utfallsrom

    Alle mulige utfall en hendelse kan ha. Utfallsrom betegnes med U.

    Eksempelvis har karakteren på en matematikkprøve utfallsrommet U={1,2,3,4,5,6}.