www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Trigonometriske formler

Ut fra symmetrien til enhetssirkelen kan vi enkelt bevise en rekke nyttige trigonometriske formler.

 

Teorem 1. Trigonometriske formler

For alle vinkler u har vi:

1a.   cos(2π+u)=cos u    1b.   sin(2π+u)=sinu
2a.   cos(2πu)=cosu   2b.   sin(2πu)=sinu
3a.   cos(π+u)=cosu   3b.   sin(π+u)=sinu
4a.   cos(πu)=cosu   4b.   sin(πu)=sinu
5a.   cos(u)=cosu   5b.   sin(u)=sinu
6a.   cos(π2u)=sinu   6b.   sin(π2u)=cosu

Bevis

Det er på ingen måte nødvendig å gå rundt å huske alle disse formlene. Med litt trening går det svært raskt å utlede dem, kanskje til og med i hodet, når du trenger dem. Som illustrasjon beviser vi et par av punktene her.

Teorem 1-1a og 1b:

Å addere 2π til en vinkel, er det samme som å gå en ekstra runde rundt enhetssirkelen. (Husk at 2π tilsvarer 360.) Derfor vil både cosu og sinu forbli uendret når man legger til 2π.

Teorem 1-4a:

På figuren under har vi tegnet inn vinklene u og πu i en enhetssirkel. På grunn av symmetri, er trekantene △OPA og △OQB likeformede. Spesielt er |OA| = |OB|. Punktene A og B har altså lik absoluttverdi, men forskjellig fortegn, og vi får at

cos(πu)=B=A=cos u

En av de viktigste trigonometriske formlene er enhetsformelen. Den er en reddende engel i mange oppgaver, så sørg for å bli god venn med denne:

Teorem 2. Enhetsformelen

For alle u gjelder relasjonen cos2u+sin2u=1.

Bevis

Dette er en pen anvendelse av Pythagoras: På figur 12 kan linjestykket OP betraktes som hypotenusen i en rettvinklet trekant der lengdene av katetene er cosu og sinu. Fordi OP er en radius i sirkelen, og dermed har lengde 1, gir Pythagoras at

cos2u+sin2u=OP2=1.


Formlene i Teorem 3 får man også bruk for rett som det er. Det kan være lurt å kunne dem utenat, i særdeleshet formlene for sin2u og cos2u .

Teorem 3.

Formlene for sin (u±v) og cos(u±v).

  •  sin(u±v)=sinucosv±cosusinv 
  •  cos (u+v)=cos u  cos v sin u  sin v
  • cosu-v=cos ucosv+sinusinv

Spesielt får vi for u=v:

  •  sin2u=2sinucosu 
  •  cos2u=cos2usin2u=2cos2u1=12sin2u 

 

 

 

Publisert: 09.08.2013 Endret: 04.09.2017