www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Trekanter

Vi starter med litt notasjon og minner om de viktigste begrepene. Ved tegning av trekanter og andre mangekanter (eller

Polygon

En lukket kurve som består av sammenhengende linjestykker i planet. Det forutsettes at den lukkede veien ikke krysser seg selv. Polygoner har navn etter antall sider, for eksempel trekant.

polygoner
, som de også kalles), er det vanlig å bruke store bokstaver som navn på hjørnene, og små bokstaver som navn på sidelengdene. Symbolet ΔABC  betyr "trekanten med hjørner AB og C".

Trekant ABC der vinkel A heter alfa. Siden a er den motsatte siden til vinkelen A (altså siden BC), siden b er AC og siden c er AB.

Vinkler betegnes gjerne med bokstavene u og v, eller greske bokstaver som α,β,γ,φ og θ. (Kan du uttale dem?) For å beskrive vinklene i en figur, bruker vi hjørnene til å veilede oss. På figuren over er for eksempel a=BAC. Den midterste bokstaven betegner alltid toppunktet til vinkelen. I tilfeller der det ikke er noen tvil om hva vi mener, nøyer vi oss ofte med å skrive A.

Spesielle trekanter

De grunnleggende egenskapene til disse trekant-typene kjenner du sikkert fra før: I en likesidet trekant er alle vinklene 60◦, mens i en likebeint trekant er det alltid to vinkler som er like store. For de rettvinklete trekantene gjelder et av de eldste og mest berømte av alle teoremer i matematikken, nemlig Pytagoras' setning.

Definisjon. spesielle trekanter


  • En trekant der alle sidene er like lange, kalles likesidet.

  • En trekant der to av sidene er like lange, kalles likebeint.

  • En trekant der en av vinklene er rett, altså 90◦, kalles rettvinklet. Den motstående siden til den rette vinkelen kalles hypotenusen, mens de to andre er kateter.

 

Rettvinklet trekant

For de rettvinklete trekantene gjelder et av de eldste og mest berømte av alle teoremer i matematikken, nemlig

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : a2+b2=c2 

Setningen kan brukes til å finne en side i en trekant.

Pytagoras læresetning
.

Rettvinklet trekant med kateter a og b, og hypotenus c.Rettvinklet trekant med kateter a og b, og hypotenus c.

Det er viktig å merke seg at dersom sidelengdene i en trekant tilfredsstiller Pytagoras læresetning, så er trekanten rettvinklet. Fordi 32+42=52, er enhver trekant med sider 3, 4 og 5 rettviklet. Dette ble i gamle dager benyttet for å konstruere rette vinkler: Ta tre pinner med lengder 3 m, 4 m og 5 m, og lag en trekant med dem. Da får du en rettvinklet trekant!

 

30-60-90- trekant

En annen god venn blant de rettvinklete trekantene er den der vinklene er 30,60 og 90. En slik trekant kalles (oppfinnsomt nok) 30-60-90- trekant.

teorem

Dersom den korteste kateten i en 30-60-90- trekant har lengde a, har vi at

  • hypotenusen har lengde 2a.
  • den lengste kateten har lengde 3a

Bevis

Ved å oppfatte 30-60-90- trekant som halvparten av en likesidet trekant (figur 1), ser vi at hypotenusen har lengde 2a. For å finne lengden av den andre kateten, bruker vi Pytagoras (figur 2):

BC2=AC2-AB2=2a2-a2=3a2BC=3a2=3a.

 

 

Publisert: 06.08.2013 Endret: 13.12.2019