www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

abc-formelen

Vi har lært oss kvadratsetningene, vi vet hvordan vi fullfører kvadrater og vi har sett hvordan vi kan løse andregradslikninger ved å faktorisere dem. Nå skal vi lære en formel som gir oss løsningene direkte, og vise hvordan vi kan skrive et andregradsuttrykk ved hjelp av løsningene det har.

Hvis man starter med uttrykket ax2+bx+c og faktoriserer det slik vi så på i forrige del av lynkurset kan man utlede en generell sammenheng mellom koeffisientene og de x-verdiene som løser ax2+bx+c=0. Vi skal ikke ta med utledningen her, men den er en fin oppgave å prøve å få den til – man fullfører et kvadrat, samler alt annet på andre side av likhetstegnet og tar så kvadratroten på begge sider og rydder opp.

Nok prat - her er abc-formelen:

Teorem. Løsningsformelen for andregradslikninger

La a, b og c være reelle tall, der a0. Likningen ax2+bx+c=0 har løsningene

 x=b±b24ac2a 

forutsatt at b24ac0. Dersom b24ac<0 har likningen ingen reelle løsninger.

 

Utledning av formelen

Vi skal bruke kvadratsetningene på en smart måte for å utlede formelen.

Vi divider med a begge sider av likningen:

ax2+bx+c=0

ax2a+bxa+ca=0

x2+bxa+ca=0

Nå ordner vi likningen slik at vi kan bruke

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

 (a+b)2=a2+2ab+b2.

første kvadratsetning
. Trekk ca fra begge sider av likningen. Da får vi

x2+bax=ca

Husk første kvadratsetning:

x2+2tx+t2=(x+t)2

Tenk på ba som 2t eller t=b2a. Legger vi til leddet t2=b24a2 på begge sider i likningen, får vi at venstresiden er et fullstendig kvadrat:

x2+2b2ax+b24a2=b24a2ca

Uttrykket til venstre for likhetstegnet skrives om til

x2+2b2ax+b24a2=(x+b2a)2

Uttrykket til høyre for likhetstegnet settes på en felles brøkstrek,

b24a2ca=b24ac4a2

Hele likningen er nå

(x+b2a)2=b24ac4a2

Vi tar kvadratroten på begge sider av likhetstegnet:

x+b2a=±b2-4ac4b2

Merk at vi må ta med både det positive og negative uttrykket fordi vi tar kvadratroten og dermed står det pluss-minus forran rottegnet. Trekk b2a fra begge sider av likningen, og vi er i mål:

x=b2a±b24ac2a=b±b24ac2a

Vi har altså funnet at x kan ha maksimalt to løsninger, og de er gitt ved formelen:

x=b±b24ac2a
Dersom uttrykket under rottegnet blir negativt, har likningen ingen reelle tall som løsning.

Uttrykket b24ac kalles diskriminanten til andregradslikningen. Antall løsninger er avhengig av om dette tallet er lik 0, er positivt eller er negativt (fortegn er en viktig egenskap ved et tall!):

  • b24ac=0: Én løsning. Denne finner vi ved å gjenkjenne et fullstendig kvadrat eller eventuelt bruke abc-formelen.
     
  • b24ac>0: To løsninger. Disse finner vi ved å bruke abc-formelen, eventuelt fullføre kvadratet som vi gjorde i forrige del av lynkurset (det siste er tidkrevende, men veldig tilfredsstillende med hensyn på algebrakunnskaper og forståelse).
     
  • b24ac<0: Ingen løsning. abc-formelen gir at vi skal ta kvadratroten av et negativt tall, noe vi ikke kan. Forsøk på å fullføre kvadratet fører ikke frem, siden vi vil få et plusstegn der vi trenger et minustegn for å bruke konjugatsetningen.

Et spesialtilfelle av formelen kan være verdt å merke seg. Dersom likningen vi skal løse er på formen

 x2+2bx+c, 

der b og c er reelle tall, får vi en ekstra fin formel for løsningene:

 x=2b±(2b)24c2=2b±2b2c2=b±b2c.

Å bruke abc-formelen er ganske rett fram, men vi tar med noen eksempler. Vi oppfordrer å regne over selv, så du er sikker på at du skjønner hvordan formelen brukes.

 

Eksempel 1

Løs likningen x2+x34=0.

Her kan vi bruke den noe enklere formelen, med b=12, c=34. Da får vi med en gang at svaret er

 x=12±(12)2(34)=12±14+34 ,

 

og det betyr at løsningene til likningen er x=32, x=12.

 

Eksempel 2

Løs likningen 2x24x+32=0.

Her har vi a=2, b=4 og c=32. Når vi setter dette inn i abc-formelen får vi de to løsningene

 x=4±16124=4±24={3212. 

Vi får to løsninger, som er det vi venter oss med positiv diskriminant.

 

Eksempel 3

Løs likningen 2x2+7x+7=0.

Her er diskriminanten 72427=4956=7<0, og dermed har ikke likningen noen løsninger. 

 

Eksempel 4

Løs likningen x2+9=6x.

Dette er det samme som å løse x2+6x+9=0, og selv om vi kan gjøre dette med abc-formelen er det enda lettere å huske at ved 1. kvadratsetning er 

 x2+6x+9=(x+3)2,

 

og av det ser vi at x=3 er eneste løsning. Sjekk gjerne selv at diskriminanten faktisk er 0.

 

Eksempel 5

Løs likningen e2x+2ex8=0.

Setter vi u=ex blir likningen omskrevet til u2+2u8. Formelen gir da at
 u=1±1+8=1±3    u=4  eller  2 
For å finne x, må vi nå løse likningene ex=4 og ex=2. Den første av disse har ingen løsning, siden ex alltid er positiv. Den andre løser vi på vanlig måte:
tekst
 ex=2      x=ln2. 
Den opprinnelige likningen har derfor x=ln2 som eneste løsning.
 

Faktorisering av andregradsuttrykk

Nå har vi sett på mange eksempler på hvordan vi kan løse andregradsuttrykk. La du merke til at i eksempel 4 over kunne vi skrive uttrykket på en slik måte at vi så med en gang hva som var løsningene? Dette kan man faktisk gjøre generelt, og vi har at følgende regel gjelder:

Teorem. Faktorisering av andregradsuttrykk

La a, b og c være reelle tall, der a0, og anta at likningen ax2+bx+c=0 har løsningene x1 og x2. (Disse kan være like). Da har vi faktoriseringen

 ax2+bx+c=a(xx1)(xx2). 

Eksempel 6

Faktoriser uttrykket x2+x34 ved å bruke teoremet.

Dette uttrykket kjenner vi løsningene til fra eksempel 1 over, så vi kan bruke teoremet rett fram og ser at x2+x34=(x+32)(x12). Prøv gjerne å gange ut igjen selv for å se at dette stemmer.

Publisert: 05.08.2013 Endret: 27.11.2017

Begrep

  • Diskriminant

    For en andregradslikning ax2+bx+c=0 kalles tallet b24ac for diskriminanten. Om dette tallet er negativt har likningen ingen løsninger, om det er 0 har den én, og om det er positivt har likningen to løsninger.

  • Første kvadratsetning

    Første kvadratsetning sier at

     (a+b)2=a2+2ab+b2.

  • abc-formelen

    abc-formelen sier at likningen ax2+bx+c=0 har løsningene x=b±b24ac2a.