www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen

Når vi kjenner den deriverte til en funksjon, er det en enkel sak å finne likningene for 

Tangent

En tangent til en kurve i et punkt er en linje som går gjennom punktet, men bare akkurat rører kurven der.

tangentene
til grafen. Det eneste vi trenger, er den gode gamle ettpunktsformelen:

 

Teorem. Ettpunktsformelen
La l være linja som går gjennom punktet (x0,y0) og har stigningstall a. Likningen for l er da:

yy0=a(xx0).



Bevis. La (x,y) være et vilkårlig punkt på l, forskjellig fra (x0,y0) (se figuren under). Siden stigningstallet til en linje er lik ΔyΔx, får vi sammenhengen

 ΔyΔx=a,  det vil si  yy0xx0=a. 


Ganger vi opp med nevneren (xx0), får vi formelen i teoremet over.



La oss nå vende tilbake til graftangenter. Anta at f er en deriverbar funksjon, og la (c,f(c)) være et punkt på grafen. Vi skal finne tangenten i dette punktet. Men stigningstallet til tangenten er jo verdien av den deriverte! Vi skal altså ha tak i likningen for linja som går gjennom punktet (c,f(c)), og har stigningstall f'(c). Svaret følger rett fra ettpunktsformelen:

Teorem. Likning for tangentlinje


La f(x) være deriverbar i punktet x=c. Tangenten til grafen til f i punktet (c,f(c)) er da gitt ved likningen

yf(c)=f'(c)(xc)

 

Eksempel

Oppgave. Finn tangenten til grafen til f(x)=ex i punktene (0,f(0)) og (1,f(1)).

Løsning. Vi setter rett inn i formelen i teoremet over, med f(x)=f'(x)=ex. I det første punktet er c=0, og vi får tangentlikninga

ye0=e0(x0)y=x+1.


I det andre punktet har vi c=1, og vi får tangenten

 

ye1=e1(x1)y=ex.

 

(Sjekk mellomregningene selv hvis du er usikker.)

Publisert: 05.08.2013 Endret: 13.12.2014