www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Monotoniegenskaper

Hva mener vi egentlig med at en funksjon fx vokser?

Jo, at når x øker, så øker også verdien fx. Dersom fx blir mindre når x øker, er det naturlig å si at funksjonen er avtagende. Vi utbroderer dette til en formell definisjon:

Definisjon

La f være en funksjon definert på et intervall a,b. Vi sier at

  • f er voksende i a,b, dersom for alle x1, x2 a,b, så gjelder
     
     x1<x2      f(x1)f(x2) 
  • f er avtagende i a,b, dersom for alle x1, x2  a,b, så gjelder
 x1<x2      f(x1)f(x2) 


Dersom x1<x2fx1<fx2 for alle x1,  x2  a,b, sier vi at f er strengt voksende i a,b.
Tilsvarende er f strengt avtagende i a,b hvis  x1<x2fx1>fx2.

 Ifølge denne definisjonen er for eksempel funksjonen fx=1 voksende i hele , men ikke strengt voksende noe sted.

I praksis er det som oftest vanskelig å bestemme hvor en funksjon vokser og avtar ut fra denne definisjonen. Heldigvis kan vi bruke den deriverte til dette! Den deriverte av funksjonen fx i et punkt a er stigningen til fx i dette punktet. Hvis funksjonen vokser, er stigningen positiv, men hvis funksjonen synker er den stigningen negativ. Vi oppsummerer i følgende teorem.

Teorem. Monitoniegenskapene til en funksjon

Anta at f er kontinuerlig og deriverbar på intervallet a,b. Da gjelder:

f'x0 for alle xa,b    f er voksende på a,b.
fx0 for alle xa,b    f er avtagende på a,b.

Bevisskisse. Husk den geometriske tolkningen av den deriverte: I hvert punkt x er fx lik stigningstallet til tangenten. Siden tangenten i et punkt er tilnærmet lik grafen i nærheten av tangeringspunktet, vil grafen og tangenten alltid peke i samme retning der. Dette betyr at der fx (altså stigningstallet til tangenten) er positiv, vil tangenten peke oppover, og da vil grafen vokse. På samme måte avtar grafen der fx er negativ. Dette er akkurat det teoremet sier.

En konsekvens av teoremet over er at vi kan bestemme monotoniegenskapene til f ved å tegne fortegnslinja til fx.

Eksempel

Bestem ved regning hvor funksjonen til fx=x3-12x2-4x+1 vokser og avtar.

Vi bruker teoremet over og vil dermed finne ut når den deriverte f'x er positiv og negativ.

f'x=3x2-x-4.

Vi tegner fortegnslinja til den deriverte ved først å finne nullpunktene til f'x ved hjelp av

abc-formelen

abc-formelen sier at likningen ax2+bx+c=0 har løsningene x=b±b24ac2a.

abc-formelen
:

x=--1±-12-43-423=43-1

Nullpunktene er x=43 og x=-1.

Nå vil vi bare finne ut hvilken verdi funksjonen har mellom nullpunktene. Vi velger en verdi i hvert av intervallene (,1),(1,43) og (43,):

 

 f(2)=10>0,   f(0)=4<0,   f(2)=6>0. 

 

Fortegnslinja til f(x) ser du under. Vi ser at f er voksende på (,1), avtagende på (1,43) og voksende på (43,). Når vi sammenligner med grafen, ser vi at dette stemmer bra.

Grafen:

Publisert: 05.08.2013 Endret: 11.09.2014