www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Å fullføre kvadratet

Et kvadrat (ofte kalt fullstendig kvadrat) er et uttrykk som står i 2. potens, altså et uttrykk på formen ...2, der innholdet i parentesen kan være hva som helst. Når vi har et andregradsuttrykk, altså et uttrykk der deler av det (men kanskje ikke hele) står i 2. potens, er det ofte nyttig å skrive om uttrykket slik at det ligner mest mulig på et fullstendig kvadrat. Dette kalles å fullføre kvadratet. Ved hjelp av dette kan vi skrive om et annengradsuttrykk som ax2+bx+c til noe på formen ...2+r, der r er en konstant. Vi får altså fjernet det lineære leddet bx, noe som viser seg å ha mange fordeler.

Hvordan gjør vi så dette i praksis? Faktisk er alt vi trenger følgende enkle utregning:

 

Metoden med å fullføre kvadratet

La b være et tall. Da er

 x2+2bx=x2+2bx+b2b2=(x+b)2b2.

 

Legg merke til at det eneste som skjer i utregningen, er at vi legger til og trekker fra b2. Resten følger direkte fra 1. kvadratsetning. Regn gjerne over dette selv. Regelen er grei nok, men man må øve litt på å bruke den, så vi ser på noen eksempler.

 

Eksempel 1

Skriv uttrykket x2+10x+17 på formen u2+r, der r er en konstant.

Dersom vi skriver koeffisienten foran x som 25 i stedet for 10, ser de to

første leddene i uttrykket ut som

 x2+25x 

 

Dette uttrykket har samme form som venstresiden i metoden over, med b=5. Vi prøver derfor å legge til og trekke fra b2=25. Vi får da at uttrykket vi startet med blir lik

 x2+10x+17=(x2+25x+25)25+17=(x+5)28. 

 

Dermed fikk vi skrevet uttrykket på formen u2+r, med u=x+5 og r=8.

 

Eksempel 2

Løs likningen 2x2+6x=5 for x ved først å lage et fullstendig kvadrat på venstre side.

For å slippe koeffisienten foran x2-leddet, deler vi likningen på 2:

 x2+3x=52. 

 

Poenget er nå å fullføre kvadratet på venstresiden ved å legge til et passende tall på begge sider av likhetstegnet. I likningen er 2b=3, så b=32 og vi vil legge til 322 for å fullføre kvadratet. Utregningen blir slik:

 x2+3x   =52 
 x2+3x+322  =52+322
 x+322  =52+94=194 
 x+32   =±194=±1219 
 x   =32±1219. 

 

Eksempel 3

Faktoriser uttrykket x2+x34.

Vi lager et fullstendig kvadrat av  ved å legge til og trekke fra 122.

x2+x-34=x2+212x+122-122-34=x-122-1.

 

Dette uttrykket lar seg faktorisere ved konjugatsetningen:

x+122-1=x+12+1x+12-1=x+32x-12.

 

Resultatet blir altså at x2+x34=x+32x-12.

Publisert: 01.08.2013 Endret: 04.08.2015

Begrep

  • Andre kvadratsetning

    Andre kvadratsetning sier at

     (ab)2=a22ab+b2.

  • Første kvadratsetning

    Første kvadratsetning sier at

     (a+b)2=a2+2ab+b2.

  • Konjugatsetningen

    Konjugatsetningen sier at

     (a+b)(ab)=a2b2.

    Kalles også tredje kvadratsetning.

  • Perfekt kvadrat

    Et perfekt kvadrat er et uttrykk som kan skrives som (...)2, altså at det er et eller annet i andre potens.