www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter

Her finner du en oppsummering av reglene for potensregning samt sammenhengen med røtter.

Definisjonen av potenser og røtter gir oss følgende fine egenskaper ved potenser:

Teorem

La a og b være reelle tall, og m og n naturlige tall. Da gjelder:

1)    aman=am+n

2)   aman=amn,(m>n)

3)   (am)n=(an)m=amn

4)   ambm=(ab)m

5)   ambm=(ab)m

Bevis for 1):

Fra definisjonen av potenser har vi at  am=aaam faktorer og dette gir oss at

 aman=aaaaam faktorer    n faktorer=am+n 

Flere definisjoner og sammenhengen med røtter

Teoremet over gir en naturlig måte å utvide definisjonen av potenser slik at vi kan tillate andre tall enn bare de naturlige tallene som eksponenter. Vi kan for eksempel spørre oss: Hvis det var noe som het a0, hva skulle dette være for noe? La oss anta at regnereglene i teoremet fortsatt gjelder når  m,n0. Da får vi, ved å sette m=0 i punkt 1), at

 a0an=a0+n=an 

Deler vi på an på begge sider, står vi igjen med a0=1.
På samme måte kan vi undersøke hva a opphøyd i et negativt heltall skulle være, ved å bruke punkt 2): Setter vi m=0 her, får vi at

 a0an=a0n=an. 

 

Dersom vi holder fast på at a0=1, betyr dette altså an=1an.

Til slutt ser vi på uttrykket a1m, der mN. Hvis noe slikt skal gi mening og samtidig respektere teoremet, gir punkt 3) at vi må ha

 (a1m)m=a1mm=a 

Men dette vil si at a1m tilfredsstiller likningen i definisjonen av m-’te-roten av a! Motivert av det vi nettopp har diskutert, lager vi følgende definisjon:

Definisjon La m være et naturlig tall. Da er


a)    a0=1 for alle a, a0. Uttrykket 00 er ikke definert.

b)    am=1am for alle a,a0.

c)    a1m=am for alle a slik at am er definert.

Mer generelt definerer vi for alle a0 og alle naturlige tall m og n:
d)    amn=(an)m=amn.

e)    amn=1(an)m=1amn.

Dersom n er odde, kan vi tillate negative a i d) og e). Uttrykkene blir de samme.

 

Ved å studere definisjonen av en potens, har vi utvidet potensbegrepet til å gjelde også eksponenter som er brøker!

Det er også mulig å definere potensuttrykk der eksponenten er irrasjonal, for eksempel 2π. Idéen er å betrakte følgen 23,23,1,23,14,23,141 . . . , der eksponentene er rasjonale tall som blir stadig nærmere π. Man kan vise at følgen nærmer seg et bestemt tall, som vi definerer til å være 2π. Vi går ikke nærmere inn på detaljene her.

Vi oppsummerer potensreglene:

Potensregler                
La a,b,m,n der a,b0.  Følgende regler gjelder der hvor uttrykkene er definert:

1)   aman=am+n

2)   aman=amn, (m>n)

3)   (am)n=(an)m=amn


4)   ambm=(ab)m   


5)   ambm=(ab)m

 

 

Eksempler

Regn ut: a) 563 b) 2102413  c) a34a236

Løsning:

a) 563=563=52=25 

b) 2102413=210(24)113=210(24)3=210212=210+12=4 

c) Enten:

(a34a23)6=(a34a23)6=(a3423)6=(a112)6=a12=a

eller:

 (a34a23)6=(a34)6(a23)6=a346a236=a92a4=a924=a 

Publisert: 01.08.2013 Endret: 16.09.2014