www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Å bruke konjugatsetningen

Vi har allerede sett noen eksempler på bruk av første og andre kvadratsetning. På denne siden skal vi også bruke den tredje, nemlig konjugatsetningen.

Når man er godt kjent med konjugatsetningen ser man med en gang at man kan forenkle et uttrykk som 2r2s48t2u2:

 2r2s48t2u2   =2(r2s44t2u2) 
   =2(rs22tu)(rs2+2tu). 


Å bli flink til å kjenne igjen slike ting som dette krever trening, så vi går rett på og ser på et par eksempler der konjugatsetningen hjelper oss.

Eksempel 1

Skriv uttrykket enklere:

(5x23x+1+x3)(5x23x+1x+3).

 

Løsning. Begynner man å gange ut her, er det lett å gå seg vill og ende opp med feil. I stedet ser vi at vi kan sette parenteser litt lurt, slik at konjugatsetningen kan brukes:

 ((5x23x+1)+(x3))((5x23x+1)(x3))= 
 (5x23x+1)2(x3)2=5x23x+1(x26x+9)=4x2+3x8. 

 

I nest siste overgang brukte vi også 2. kvadratsetning for å regne ut (x3)2.

Vi tar med et eksempel til, litt mer omfattende enn det forrige. Her bruker vi alle tre kvadratsetningene «motsatt vei»:

Eksempel 2

Faktorisér uttrykket x42x2+1y24y4. 

Løsning. Ideen her er å skrive uttrykket som en differanse mellom to kvadrater, for så å bruke konjugatsetningen til å faktorisere.

La oss begynne med de tre første leddene. Ser du nøye på dem, kjenner du igjen formen til høyresiden i andre kvadratsetning, med a=x2 og b=1. Det betyr altså at 

 x42x2+1=(x21)2. 

 

Vi kan også lage et kvadrat av de tre siste leddene, etter først å ha trukket ut en minus:

 y24y4=(y2+4y+4)=(y+2)2. 

 

Her brukte vi første kvadratsetning med a=y og b=2. Dette betyr at vi kan skrive det opprinnelige uttrykket som x42x2+1y24y4=(x21)2(y+2)2. Fordi dette er en differanse av to kvadrater, kan vi faktorisere ved å bruke konjugatsetningen.

Vi får at

 x42x2+1y24y4   =(x21)2(y+2)2 
   =(x21+(y+2))(x21(y+2)) 
   =(x2+y+1)(x2y3). 
Publisert: 31.07.2013 Endret: 21.03.2014

Begrep

  • Første kvadratsetning

    Første kvadratsetning sier at

     (a+b)2=a2+2ab+b2.

  • Andre kvadratsetning

    Andre kvadratsetning sier at

     (ab)2=a22ab+b2.

  • Konjugatsetningen

    Konjugatsetningen sier at

     (a+b)(ab)=a2b2.

    Kalles også tredje kvadratsetning.