www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Fortegnsskjema

Når vi arbeider med uttrykk i x er det noen ganger viktig å svare på spørsmål som: For hvilke verdier av x er uttrykket positivt? Lik 0? Negativt? For eksempel, hvis vi har et uttrykk for temperatursvingninger: Når er temperaturen positiv? Lik 0? Negativ? Når vi svarer på denne typen spørsmål sier vi at vi drøfter fortegnet til uttrykket.

Førstegradsuttrykk

Når er for eksempel det lineære uttrykket 2x+1 positivt? lik 0? negativt? Ved å løse den lineære likningen 2x+1=0 finner vi at uttrykket er 0 når x=12. Ved å løse ulikheten 2x+1>0, ser vi at uttrykket er (strengt) positivt for x<12 , og ved å snu ulikheten, ser vi at det er negativt for x>12.

Vi kan tegne opp fortegnsskiftet for et lineært uttrykk i x med en såkalt fortegnslinje. Vi tegner først opp

Tallinja

Tallinja

En linje der hvert punkt korresponderer til et tall og ethvert tall svarer til et punkt på linjen.

tallinja
, der x kan variere. Deretter tegner vi en ’ny’ tallinje under, der vi markerer hvordan fortegnet til uttrykket varierer med x: For de x-verdiene der uttrykket er (strengt) positivt, lar vi linja være sammenhengende, mens for de verdiene der uttrykket er (strengt) negativt stipler vi linja. Vi tegner inn en 0 (eller gjerne en ring) på linja der uttrykket er lik 0.

Uttrykket 2x+1 i eksempelet over gir fortegnslinja:


 

Et generelt lineært uttrykk i x er på formen ax+b der a og b er konstante tall. Dette uttrykket er lik 0 når x=ba. Videre har vi følgende(sjekk og tegn!):

• Hvis a>0, skifter uttrykket ax+b fortegn fra  til + når x=ba.

• Hvis a<0, skifter uttrykket ax+b fortegn fra + til  når  x=ba.

Andregradsuttrykk

Hvordan varierer så fortegnet til et andregradsuttrykk? Når er ax2+bx+c positivt? Lik 0? Negativt?

Her er det en stor fordel å kunne faktorisere! Vi faktoriserer andregradsuttrykket i lineære faktorer (hvis mulig), og fortegnsdrøfter hver lineær faktor. Deretter ser vi på fortegnet til produktet, og bruker at produktet av et positivt tall og et negativt tall er negativt, mens produktet av to positive tall er positivt, og produktet av to negative tall er positivt (egenskaper ved de reelle tallene igjen). Det gir denne "multiplikasjonstabellen":

 

Når er uttrykket x28x+7 positivt? Lik 0? Negativt? Vi faktoriserer uttrykket:

 x28x+7=(x7)(x1) 

 
Faktoren x7 er lik 0 for x=7, positiv for x>7 og negativ for x<7.
Faktoren x1 er lik 0 for x=1, positiv for x>1 og negativ for x<7.

(Hvis for eksempel x=2, er x7 negativ, mens  x1 er positiv, dermed er produktet x28x+7 negativt for x=2.) Hvis vi slår sammen fortegnene på faktorene, får vi at x28x+7 er lik 0 for x=1 og x=7, positivt for x<1 og x>7 og negativt for 1<x<7.

Vi kan tegne opp fortegnsskiftet for andregradsuttrykk i et fortegnsskjema:
For hver lineær faktor tegner vi fortegnslinja til faktoren, og til slutt lager vi
en fortegnslinje for uttrykket, ved å følge ’multiplikasjonstabellen’ over.

Fortegnsskjemaet for uttrykket x28x+7 er:


Publisert: 30.07.2013 Endret: 28.11.2014

Begrep

  • Faktorisering av uttrykk i x

    Med å faktorisere et uttrykk i x mener vi å skrive det som et produkt av lineære faktorer. For eksempel er

     x2+4x+3=(x+1)(x+3) 

    en faktorisering.

  • Fortegnsskjema/fortegnslinje

    Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

  • Ulikhet

    Ulikhet er et uttrykk som sier at en størrelse er mindre eller større enn en annen. a er mindre enn b skriver vi som a<b. a er større enn b skriver vi som a>b. Ulikheter kjennetegnes ved <,>,,.