www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

n-te røtter

Finnes det andre røtter en kvadratroten og kubikkroten?

22=4 gir at 4=2.

23=8 gir at  83=2

24=16. Tallet 2 kaller vi fjerderoten av 16. Vi skriver 164. Nå er også (2)4=16. Vi kaller likevel ikke 2 for fjerderoten av 16, av samme grunner som vi ikke kaller 2 for kvadratroten av 4.

Vi definerer fjerderøtter helt tilsvarende som kvadratrøtter:

Definisjon


Anta at a0. Da er a4 det positive tallet som opphøyd i fjerde potens gir a.


Altså er a4=x, hvis x0 og x4=a.


Reglene for fjerderota av et produkt og en kvotient er akkurat som for kvadratrot, og gjelder kun for positive tall:

ab4=a4b4ab4=a4b4
    

Eksempel 1

Regn ut 8,11054.


Vi deler opp og får

8,11054=811044=341044=3441044=310=30.    


Resultat:

8,1105=304.     

 

Eksempel 2.

Regn ut fjerderota x86254.

Vi legger merke til at 625=252=(52)2=522=54, og dermed blir

x86254=(x2)44544=x25.
     

Det er vel nå lett å tenke seg hva en femtert må være? Tilsvarende som for en tredjert er femteroten definert for alle tall, ikke bare de positive. Femterøtter følger akkurat de samme regler som tredjerøtter.

Vi får et mønster:
En sjetterot er definert helt tilsvarende som kvadrat- og fjerderot. Vi kan definere røtter av så høy orden vi ønsker. Kvadratrot har orden 2, kubikkrot har orden 3, fjerderot har orden 4, osv.

 

n-te røtter

Slik kan vi fortsette. Hvis a=bn, sier vi at b er n-te roten til b.

n-te roten


For et positivt tall n og et tall a, er n-te roten av a, tallet b slik at a=bn. Vi skriver an=b.

Hvis n er et partall, må a være et positivt tall.

Hvis  n er et partall, må vi forutsette a0, og da skal vi ha an=±x  slik at x er positiv.

Hvis n er et oddetall, er an definert for alle tall a og an er positiv eller negativ avhengig av om a>0 eller a<0.


Regnereglene for produkt og kvotient gjelder selvsagt også for n-te røtter:

abn=anbnabn=anbn
 

Eksempel 3.


Regn ut 322435.


Vi får 322435=322435=(2)5355=(2)55355=23.

Publisert: 26.07.2013 Endret: 25.11.2015

Begrep

  • Kvadratrot

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS.
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv

  • Kvotient

    Resultatet av en divisjon kalles kvotienten.
    Eksempel: 32 : 8 = 4
    Her er 4 kvotienten.

  • Positive tall

    Tall som er større enn null kalles positive tall.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).

  • Produkt

    Produktet er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel : 2·7=14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.

  • Rot

    Roten (=kvadratroten) av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4, fordi 4·4=16. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS!
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv.