Øvingsoppgaver med fasit

Lenke til dette oppgavesettet (kan bokmerkes)

Oppgaver

1

ID: 63579

Rosenborg spiller mot Barcelona hjemme på Lerkendal. Anta at sannsynligheten for utfallet er fordelt på følgende måte

P(H) = $\frac{1}{6}$ , P(U) = $\frac{2}{6}$

der H svarer til hjemmeseier dvs. RBK vinner osv.

a) Finn P(B) dvs. sannsynligheten for at Barcelona vinner.

b) Finn sannsynligheten til den komplementære hendelsen av P(U).

c) Finn sannsynligheten til den komplementære hendelsen av P(H).

Er du enig i denne sannsynlighetsfordelingen (Barcelona-fans trenger ikke å svare:)? Hva kalles denne sannsynligheten og hva er forskjellen på denne type sannsynlighet og sannsynligheten på om det blir krone eller mynt ved et myntkast?

2

ID: 34550

På en skole er 60 % av elevene flinke i matematikk, 50 % er flinke i norsk, og 30 % er flinke i begge deler.

Hva er sannsynligheten for at en elev er flink i matematikk, i norsk eller i begge deler?

3

ID: 66378

Den uerfarene tyske turisten Gûnter har gått seg vill oppe i den norske fjellheimen. Han befinner seg på en sti som deler seg i to. Altså det første veiskillet. Han vet den ene veien fører fram mot hytta han skal til, mens den andre vil resultere i at han får sett altfor mye av norsk natur.

Vi beskriver hendelsene

"riktig ved første veiskille" = A
"feil ved første veiskille = B

a) Siden Gûnter ikke har peiling på hvilken av de to stiene som fører fram til hytta, hva er da sannsynligheten for P(A)?

Nå viser det seg at den riktige stien også deler seg i to, der den ene stien fører rett til hytta mens den andre vil være feil. Så med andre ord kan Gûnter velge riktig ved det første veiskille mens ved det andre veiskille velge feil. Gûnter har heller ikke i dette veiskillet peiling.

Vi beskiver hendelsene

"velger riktig ved andre veiskille" = C
"velger riktig ved andre veiskille gitt velger riktig ved det første" = C|A
"velger riktig ved første og andre veiskille" = $A \cap C$

b) Tegn opp hendelsene A,B,C og $A \cap C$ i ett og samme venndiagram. Blir det riktig å tegne opp C|A inn i dette venndiagrammet?

c) Finn P(C|A) og $P (A \cap C)$ .

d) Hva er sannsynligheten for P(C|B) og $P (B \cap C)$ ? (lurespørsmål!)

4

ID: 66330

En skole har 2 klasser. I klasse 1 er det 22 elever hvorav 10 er jenter og i klasse 2 er det 18 elever hvorav 8 er jenter. Rektoren plukker tilfeldig ut en elev fra skolen. Vi ser på hendelsen

"elev er gutt" = G
"elev går i klasse 2" = TO

a) Tegn opp et venndiagram som illustrerer utfallsrommet til denne tilfeldig utplukkede eleven.

b) Hva er sannsynligheten for P(G)?

c) Hva er sannsynligheten for P(TO)?

d) Hva er sannsynligheten for $P (G \cap T O)$ ?

e) Med 3 forskjellige farger, greier du å merke av hendelsene G, TO og $G \cap T O$ i venndiagrammet ditt?

5

ID: 66312

Første time etter ferien spør læreren sine 24 elever hvor de har vært på ferie. 8 av elevene sier de kun har vært i Sverige, 4 sier de kun har vært i Danmark, 2 sier de både har vært i Sverige og i Danmark mens resten sier de bare har feriert hjemme i Norge.

a) Tegn opp et venndiagram for klassen.

Vi trekker ut en tilfeldig elev. Vi betegner hendelsen "Elev vært i Danmark" for D og "Elev vært i Sverige" for S.

b) Hva er sannsynligheten for P(S)?

c) Hva er sannsynligheten for P(D)?

d) Hva er sannsynligheten for $P (S \cap D)$ ?

e) Hva er sannsynligheten for $P (S \cup D)$ ?

6

ID: 66331

En skole har totalt 30 elever og 2 klasser. I klasse 1 er det 20 elever hvorav 15 er gutter og i klasse 2 er det 10 elever hvorav 8 er gutter.

Vi plukker tilfeldig ut en elev fra skolen og ser på følgende hendelser:

"eleven er gutt" = G
"eleven går i klasse 1" = E

a) Tegn opp et venndiagram som viser utfallsrommet for den tilfeldig utplukkede eleven.

b) Beskriv med ord hendelsene $G \cup E$ og $G \cap E$ . Merk disse av i venndiagrammet.

c) Hva er sannsynligheten for $P (G \cup E)$ og $P (G \cap E)$ ?

7

ID: 34639

Vi ser på godteriet i en dagligvare butikk og definerer disse kategoriene av godteri:
A: godteri som koster kr 30 eller mer
B: sjokolade
C: drops

a) Beskriv $A \cap B$
b) Beskriv $A \cup B$
c) Beskriv $\bar{A} \cap C$

8

ID: 66319

I en eske er det 3 røde baller og 3 blå baller. Vi trekker tilfeldig 3 baller i tur og orden.

a) Skriv opp utfallsrommet for den første trekte ballen.

b) Skriv opp utfallsrommet for de 2 første trekte ballene.

c) Skriv opp utfallsrommet alle de trekte ballene.

9

ID: 62737

I klasse 2B er det 24 elever. Av disse har 5 elever kun tysk og 12 elever har kun spansk. Det er 7 elever som har både tysk og spansk.

a) Sett opp en tabell. Kollonnene skal inneholde de som har tysk, ikke tysk og sum. Radene skal inneholde de som har spansk, ikke spansk og sum.

b) Tegn opp et venndiagram som illustrerer dette.

Vi ser på hendelsene A = "eleven har tysk" og B = "eleven har spansk". En elev blir trekt ut tilfeldig.

c) Hva er sannsynligheten for at eleven har tysk?

d) Hva er sannsynligheten for at eleven har kun et språk?

e) Hvilken av hendelsene (B, men ikke A) og (A) har størst sannsynlighet for å inntreffe?

10

ID: 66329

En skole har 3 klasser. I klasse 1 er det 21 elever hvorav 9 er jenter, i klasse 2 er det 17 elever hvorav 4 er jenter og i klasse 3 er det 28 elever hvorav 16 er jenter. Rektoren ved skolen skal tilfeldig plukke ut en elev.

Vi ser på hendelsene

"elev er jente" = J
"elev går i klasse 1" = EN

a) Tegn opp et venndiagram for utfallet som er delt i 3 (en del for hver klasse). Så deler du hver av disse 3 delene i 2 og angir antall jenter og antall gutter for hver av klassen.

b) Hva er sannsynligheten for P(J) ?

c) Hva er sannsynligheten for P(EN)?

d) Hva er sannsynligheten for P(J|EN)?

e) Hva er sannsynligheten for P(EN|J)?

Fasit

1

ID: 63579

Fasit:

a) P(B)= $1 - \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{2}$

b) $\bar{P (U)} = P (H) + P (B) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{3}$

c) $\bar{P (H)} = P (U) + P (B) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

Denne type sannsynligheten kalles for subjektiv sannsynlighet fordi det er i dette tilfellet er jeg som bestemmer sannsynligheten. Andre har sin fulle rett til å mene at sannsynligheten for at Barcelona vinner er mye større enn det jeg har satt.

Men i et myntkast er sannsynlighetsfordelingen P(mynt)=P(krone)=0.5 objektiv siden den relative frekvensen etter mange nok kast gir denne sannsynlighetsfordelingen.

2

ID: 34550

Fasit:

0,8

3

ID: 66378

Fasit:

a) En riktig og en feil, tilfeldig hvilken som er riktig, derfor er P(A) = 0,5.

b) Dette venndiagrammet illustrerer utfallsrommet for begge veiskillene. Tegn opp en stor firkant. Inne i denne tegner du opp 2 rundinger; en for hendelse A og en for hendelse B (disse skal være disjunkte, dvs de skal ikke gå oppå hverandre). Så inne i A tegner du inn en liten runding som er $A \cap C$ .

Nei, det blir ikke riktig. Siden for at hendelsen C|A skal inntreffe så må A ha inntruffet. DA er utfallsrommet blitt kun A. (denne kan være litt tung å fordøye, men har du skjønt dette har du kommet langt)

c) Også tilfeldig hva som er riktig og hva som er gal sti i andre veiskillet, derfor er

P(C|A) = 0,5

Fra produktsetningen for avhengige hendelser er

$P (A \cap C) = P (C | A) \cdot P (A) = 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$

d) Har Gûnter valgt feil ved første veiskillet kan han aldri komme til det andre veiskillet og heller da ikke komme fram til hytta, derfor er $P (C | B) = P (B \cap C) = 0$ .

Vi får bare ønske Gûnter lykke til!

4

ID: 66330

Fasit:

b) I klasse 1 er det 12 gutter og i klasse 2 er det 10 gutter. Det er totalt 40 elever på skolen så dermed er

$P (G) = \frac{22}{40} = \frac{11}{20}$

c) P(TO) = $\frac{9}{20}$

d) Hendelsen $G \cap T O$ = "gutt og går i klasse 2". Det er 10 gutter i klasse 2 og alle de 40 elevene ved skolen kan bli plukket ut, dermed er

$P (G \cap T O) = \frac{10}{40}$

5

ID: 66312

Fasit:

b) P(S) = $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

c) P(D) = $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

d) $P (S \cap D) = \frac{1}{12}$

e) Den generelle addisjonsetningen forteller at

$P (S \cup D) = P (S) + P (D) - P (S \cap D)$

dermed er

$P (S \cup D) = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$

6

ID: 66331

Fasit:

b) $G \cup E$ = "eleven er gutt eller går i klasse 1", $G \cap E$ = "eleven er gutt og går i klasse 1"

c) $P (G \cup E) = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}$ , $P (G \cap E) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

7

ID: 34639

Fasit:

a) Sjokolade som koster 30 kr eller mer
b) Godteri som enten koster 30 kr eller mer eller er sjokolade
c) Drops som er billigere enn 30 kr

8

ID: 66319

Fasit:

B = "blå ball" og R = "rød ball"

a) U = {B,R}

b) U = {BB,BR,RR,RB}

c) U = {BBB,BBR,BRB,RBB,RRR,RRB,RBR,BRR}

9

ID: 62737

Fasit:

c) $\frac{1}{2}$

d) $\frac{17}{24}$

e) Like store

10

ID: 66329

Fasit:

b) Totalt 66 elever (21+17+28) på hele skolen og totalt 29 jenter (9+4+16) på skolen dermed er $P (J) = \frac{29}{66}$

c) $P (E N) = \frac{21}{66}$

d) Hendelsen J|EN = "elev er jente gitt at elev går i klasse 1". Det er 9 jenter i klasse 1 og totalt 21 elever i klasse 1 dermed er

$P (J | E N) = \frac{9}{21} = \frac{2}{7}$

e) Hendelsen EN|J = "elev går i klasse 1 gitt at elev er jente". Det er 21 elever i klasse 1 og totalt 29 jenter på hele skolen. Dermed er

$P (E N | J) = \frac{21}{29}$