Øvingsoppgaver med fasit
Lenke til dette oppgavesettet (kan bokmerkes)Oppgaver
1
Hvilke tilfeller er uavhengige og hvilke er avhengige?
A: Du kaster en terning 3 ganger.
B: Du trekker 4 kort fra en kortstokk. Når du har trukket et kort legger du ikke kortet tilbake igjen.
C: Per har tippet uavgjort mellom RBK og Lyn, mens Simen har tippet hjemme på samme kamp.
D: Du trekker 4 kort fra en kortstokk. Det første og det andre kortet legges tilbake etter de er trukket, mens det tredje legges ikke tilbake.
2
Anne Lise liker å drikke te, kaffe eller juice til frokost. Hun drikker aldri mer enn én av disse drikkene til samme frokost. Hvor mange kombinasjoner er mulige over fire dager dersom hun
a) hver dag drikker en av drikkene
b) kan velge å ikke drikke noe på en eller flere av dagene
3
Den uerfarene tyske turisten Gûnter har gått seg vill oppe i den norske fjellheimen. Han befinner seg på en sti som deler seg i to. Altså det første veiskillet. Han vet den ene veien fører fram mot hytta han skal til, mens den andre vil resultere i at han får sett altfor mye av norsk natur.
Vi beskriver hendelsene
- "riktig ved første veiskille" = A
- "feil ved første veiskille = B
a) Siden Gûnter ikke har peiling på hvilken av de to stiene som fører fram til hytta, hva er da sannsynligheten for P(A)?
Nå viser det seg at den riktige stien også deler seg i to, der den ene stien fører rett til hytta mens den andre vil være feil. Så med andre ord kan Gûnter velge riktig ved det første veiskille mens ved det andre veiskille velge feil. Gûnter har heller ikke i dette veiskillet peiling.
Vi beskiver hendelsene
- "velger riktig ved andre veiskille" = C
- "velger riktig ved andre veiskille gitt velger riktig ved det første" = C|A
- "velger riktig ved første og andre veiskille" =
b) Tegn opp hendelsene A,B,C og i ett og samme venndiagram. Blir det riktig å tegne opp C|A inn i dette venndiagrammet?
c) Finn P(C|A) og .
d) Hva er sannsynligheten for P(C|B) og ? (lurespørsmål!)
4
I en eske er det 2 røde og 2 blå baller. Vi trekker tilfeldig ut 2 baller i tur og orden.
a) Skriv opp utfallsrommet for den første trekte ballen.
b) Skriv opp utfallsrommet for begge de trekte ballene.
c) Er hendelsene i det siste utfallsrommet like sannsynlig, og klarer du å finne 2 hendelser som er like sannsynlige?
5
På en spesiell butikk er gjennomsnittlig hver tiende vare et brød. På en dag blir det solgt totalt 20 varer. Hva er sannsynligheten for at det
a) ikke blir solgt noen brød denne dagen
b) blir solgt minst 1 brød
6
I en seigmannpose er det 3 grønne seigmenn og 3 gule seigmenn. Vi skal se på to forsøk idet vi trekker ut to seigmenn. Avgjør om følgende måter å trekke ut disse seigmennene gjør at de to forsøkene er avhengige eller ikke.
a) vi trekker først en seigmann, legger den tilbake for så å trekke en ny en
b) vi trekker først en seigmann, legger den ikke tilbake for så å trekke en ny en
c) vi trekker først en seigmann, legger den tilbake for så å trekke en ny en. Men den siste legges ikke tilbake.
7
I klasse 1B tidlig en onsdags morgen er det en høylytt diskusjon om en matte-oppgave som var gitt i lekse. Diskusjonen går ut på om sannsynligheten for at en 50 årig mann kan bli minst 70 år er 0,95 eller 0,97. I oppgaveteksten er det blant annet opplyst om at sannsynligheten for at en 50 årig mann kan bli minst 60 år er 0,93.
Du har ikke gjort leksene, men har du noe fornuftig innspill til denne diskusjonen?
8
Du trekker tilfeldig 3 kort fra en kortstokk.
a) Hva er sannsynligheten for at du får 1 dame og 2 konger?
b) Hva er sannsynligheten for at du får 2 damer og en konge?
c) Hva er sannsynligheten for at du får 3 damer og ingen konger?
9
Tilsammen i kommunene A, B og C er det 10000 innbyggere. Kommune A har 2000 innbyggere, mens B og C har 4000 innbyggere. Vi plukker tilfeldig ut en innbygger fra disse 3 kommunene, legger hun/han tilbake for så å plukke ut enda en.
a) Hva gir størst sannsynlighet; at den første utplukkede er fra kommune B eller at den andre utplukkede er fra kommune C?
b) Hvor stor er sannsynligheten for at begge er fra kommune C?
c) Hvor stor er sannsynligheten for at en er fra A og en er fra B?
10
Du blir stilt tre spørsmål, og har ikke peiling på noen av de. Men for det første spørsmålet er det oppgitt to mulige svar, for det andre er det oppgitt 3 mulige og for det tredje er det oppgitt 4 mulige svar. Hvis du bare tipper, hvor stor sannsynlighet er det for at du vil få
a) galt svar på alle tre
b) riktig svar på alle tre
c) minst ett riktig svar
Fasit
1
A: Uavhengig
B: Avhengig
C: Avhengig. Hvis Per tipper rett så må Simen tippe feil. Hvis Per tipper feil kan Simen tippe både feil og rett.
D: De to første kortene trekkes det første, andre og det tredje trekkes uavhengig av hverandre. Men det fjerde er avhengig av det tredje siden dette kortet ikke legges tilbake.
2
a) 81 kombinasjoner
b) 256 kombinasjoner
3
a) En riktig og en feil, tilfeldig hvilken som er riktig, derfor er P(A) = 0,5.
b) Dette venndiagrammet illustrerer utfallsrommet for begge veiskillene. Tegn opp en stor firkant. Inne i denne tegner du opp 2 rundinger; en for hendelse A og en for hendelse B (disse skal være disjunkte, dvs de skal ikke gå oppå hverandre). Så inne i A tegner du inn en liten runding som er .
Nei, det blir ikke riktig. Siden for at hendelsen C|A skal inntreffe så må A ha inntruffet. DA er utfallsrommet blitt kun A. (denne kan være litt tung å fordøye, men har du skjønt dette har du kommet langt)
c) Også tilfeldig hva som er riktig og hva som er gal sti i andre veiskillet, derfor er
P(C|A) = 0,5
Fra produktsetningen for avhengige hendelser er
d) Har Gûnter valgt feil ved første veiskillet kan han aldri komme til det andre veiskillet og heller da ikke komme fram til hytta, derfor er .
Vi får bare ønske Gûnter lykke til!
4
a) U = {B,R}
b) U = {BB,RR,BR,RB}
c) Nei fordi hendelsene er avhengige. P(BB) = P(RR) og P(BR) = P(RB)
5
a)
b) 100% - 12,2% = 87,8%
6
a) Forsøkene er uavhengige, siden posens innhold er den samme for hvert av forsøkene
b) Forsøkene er avhengig, siden posens innhold forandres. Blir det først trukket ut en grønn seigmann vil det være 2 grønne og 3 gule igjen i posen og da vil sannsynligheten for å trekke ut en gul seigmann i andre forsøk bli større.
c) samme som a) uavhengig. Vi gjør bare to forsøk så hva vi gjør med den siste er uvesentlig.
7
Sannsynligheten for å bli 70 år kan ikke være større enn den for å bli 60 år. Alle 70 åringer har vært 60...
8
a)
b) Samme som a)
c)
9
a) Like stor
b)
c)
10
a)
b)
c)
