www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Målgruppe:

7. trinn

Sorte og hvite kuler

Elevene får tre oppgaver i sannsynlighetsregning å jobbe med.

Lærerens instruksjoner

SANNSYNLIGHETSREGNING


Elevene sitter i grupper med 4 elever i hver gruppe. De får følgende oppgave de skal diskutere:

 

Spillet vi skal spille går ut på å trekke en kule fra en boks. Dersom den uttrukne kulen er hvit blir det poeng. Vi kan velge mellom to bokser. I boks I er det en hvit og en sort kule, mens det i boks II er 3 hvite og 7 sorte kuler.

 

I boks I er det en hvit og sort kule.             I boks II er det 6 sorte og 3 hvite kuler. Hvilken boks vil du trekke fra dersom du skal ha størst sjanse til å få poeng? Begrunn svaret. Gruppen skal komme frem til et felles svar.


Klassens oppmerksomhet skal så samles mot tavlen. Læreren ber en representant fra hver gruppe om å presentere gruppen sitt svar. Det er viktig å fokusere på at det er gruppen sitt svar som presenteres, og ikke enkeltelevens mening. Læreren skriver svarene opp på tavlen, uten å kommentere. De andre gruppene får heller ikke lov til å kommentere svarene som kommer. Forventede svar fra gruppene kan være:
-    Boks II er best fordi der er det 3 hvite kuler.
-    Boks II er best for der er det to hvite kuler som ligger øverst.
-    Boks I er best, for der er det bare en mulighet til å ikke få poeng.
-    Det er det samme hvilken boks man trekker fra, en som er like heldig som fetter Anton vil vinne uansett.

Vi instruerer nå elevene i hvordan en tilfeldig trekning skal foregå: Man skal blande kulene i hver boks godt, før hver ny trekning skal den kula som er trekt ut legges tilbake i boksen. Videre skal den som trekker ikke ha mulighet til å se hvilken kule som trekkes.   Gruppene skal nå utføre trekning fra hver boks 50 ganger og notere resultatet. (Dersom det er få grupper bør antall trekninger fra hver boks økes slik at totalantallet i klassen kommer over 200)

Vi kan nå samle sammen resultatene fra alle gruppene på et lysark, for eksempel.

 

  Boks I                 Boks II
  Antall hvite Antall sorte   Antall hvite Antall sorte
Gruppe 1          
Gruppe 2          
Gruppe 3          
Gruppe 4          
Gruppe 5          
Gruppe 6          
Gruppe 7          
Sum:          

         

Når vi slår sammen resultatene for alle gruppene bør det ikke være tvil om at det er boks I som vil gi poeng flest ganger i det lange løp. Læreren kan nå oppsummere det klassen har kommet frem til ved å skrive på tavlen: 

Vi utførte totalt 750=350 trekninger fra hver boks, da observerte vi at det var boks I som gav poeng flest ganger.

Gruppene skal nå diskutere hvordan de kan forklare det som er blitt observert. Deretter har vi en klassediskusjon der vi diskuterer ulike forklaringer. Målet med denne klassediskusjonen er selvsagt at elevene skal komme frem til at det ikke er antallet hvite kuler i hver boks som er avgjørende, men hvilket forhold det er mellom hvite og sorte kuler.

Her kan læreren være med på å skape fruktbare sammenlikninger som kan hjelpe elevene mot et fullstendig begrep. Hvis en elev sier: ”Jeg vil alltid trekke fra den boksen med flest hvite kuler fordi da er det flest muligheter for å trekke ut en hvit kule, grunnen til at det ikke ble slik i dag er at boks 2 antakelig har en dårlig dag i dag.”  Da kan læreren stille spørsmål: Hva om boks 1 er slik den er og vi lar boks 2 bestå av 3 hvite kuler og 100 sorte kuler, vil du fortsatt trekke fra boks 2?  

Etter at vi har kommet frem til at vi må se på forholdet mellom antall hvite kuler og det totale antallet kuler når vi skal avgjøre hvilken boks som er best å trekke fra kan vi studere de påstandene som står på tavlen og vurdere dem opp mot den nye kunnskapen.

Vi avslutter med konsolideringsoppgaver, her skal elevene ta i bruk den nye kunnskapen. 

Oppgaver

I boksene under er det slik at hvit kule gir poeng. Du skal i hvert punkt under avgjøre om det er størst sjanse for å få poeng dersom du trekker fra boks I eller fra boks II eller om det er like stor sjanse i begge boksene. Begrunn svaret.
A I boks I er det 2 hvite og 1 sort kule.             I boks II er det 3 hvite og 3 sorte kuler.
B I boks I er det 2 hvite og 2 sort kule.             I boks II er det 4 hvite og 4 sorte kuler.
C I boks I er det 2 hvite og 1 sort kule.             I boks II er det 7 hvite og 3 sorte kuler.

En aktuell oppfølgningsaktivitet, der elevene får mulighet til å bruke sin nyvunne kunnskap i et noe annerledes kontekst kan være:

 

På tivoli kan man ofte spille på lykkehjul. Det er en sirkelformet plate som surrer rundt helt til den stopper. Dersom lykkehjulet stopper slik at pilen peker på et visst felt går du en gevinst. 
Nedenfor ser du tegning av to lykkehjul, disse lykkehjulene gir gevinst dersom det stopper på et hvitt felt.
lykkehjul med 3 hvite og 9 sorte felter lykkehjul med 9 sorte og 3 hvite felter
Mona og Martin er på tivoli, de diskuterer hvilket lykkehjul de bør spille på.
Mona sier at lykkehjul I har tre felt som gir gevinst, og hun derfor tror det er størst sjanse for å vinne på det. Martin derimot mener at lykkehjul II er best fordi det nettopp har stoppet på gevinstfeltet og derfor sikkert er inne i en god periode. 
Diskuter disse påstandene.
Hvilket lykkehjul tror du at har størst sjanse for å gi gevinst? Er det like stor sjanse?  Begrunn svaret.

Elevens oppgaveark

Oppgave 1. 

Spillet vi skal spille går ut på å trekke en kule fra en boks. Dersom den uttrukne kulen er hvit blir det poeng.  Vi kan velge mellom to bokser.  I boks I er det en hvit og en sort kule, mens det i boks II er 3 hvite og 7 sorte kuler.

 

I boks I er det en hvit og sort kule.             I boks II er det 6 sorte og 3 hvite kuler. Hvilken boks vil du trekke fra dersom du skal ha størst sjanse til å få poeng? Begrunn svaret. Gruppen skal komme frem til et felles svar.

Oppgave 2.

 

 

  Boks I                 Boks II
  Antall hvite Antall sorte   Antall hvite Antall sorte
Gruppe 1          
Gruppe 2          
Gruppe 3          
Gruppe 4          
Gruppe 5          
Gruppe 6          
Gruppe 7          
Sum:          

 

Oppgave 3.        

 

I boksene under er det slik at hvit kule gir poeng. Du skal i hvert punkt under avgjøre om det er størst sjanse for å få poeng dersom du trekker fra boks I, fra boks II eller om det er like stor sjanse i begge boksene. Begrunn svaret.

A I boks I er det 2 hvite og 1 sort kule.             I boks II er det 3 hvite og 3 sorte kuler.
B I boks I er det 2 hvite og 2 sort kule.             I boks II er det 4 hvite og 4 sorte kuler.
C I boks I er det 2 hvite og 1 sort kule.             I boks II er det 7 hvite og 3 sorte kuler.

 

Oppgave 4.

På tivoli kan man ofte spille på lykkehjul. Det er en sirkelformet plate som surrer rundt helt til den stopper. Dersom lykkehjulet stopper slik at pilen peker på et visst felt får du en gevinst. 
Nedenfor ser du tegning av to lykkehjul, disse lykkehjulene gir gevinst dersom de stopper på et hvitt felt.
lykkehjul med 3 hvite og 9 sorte felter lykkehjul med 9 sorte og 3 hvite felter
Mona og Martin er på tivoli, de diskuterer hvilket lykkehjul de bør spille på.
Mona sier at lykkehjul I har tre felt som gir gevinst, og hun derfor tror det er størst sjanse for å vinne på det.  Martin derimot mener at lykkehjul II er best fordi det nettopp har stoppet på gevinstfeltet og er derfor sikkert inne i en god periode. 
Diskuter disse påstandene.
Hvilket lykkehjul tror du at har størst sjanse for å gi gevinst, eller er det like stor sjanse?  Begrunn svaret.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 7. årssteget
    • Statistikk og sannsyn
      • planleggje og samle inn data i samband med observasjonar, spørjeundersøkingar og eksperiment
      • vurdere og samtale om sjansar i daglegdagse samanhengar, spel og eksperiment og berekne sannsyn i enkle situasjonar

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    grupper på 4

  • Utstyr

    elevens oppgaver

  • Tidsbruk

    1 dobbeltime

  • Valg av tidspunkt

    innføringsopplegg

Skrevet av

Petter Pettersen