Fullstendig kvadrat

Jeg forstår ikke denne oppgaven.

Skriv om funksjonsuttrykkene til følgende funksjoner ved å omforme til fullstendig kvadrat:

i:$y=x^2+4x-1$.

ii:$-x^2-2x-1$.

Hilsen Even

Her er det siste uttrykket det enkleste dersom du kan faktorisere og kan første kvadratsetning. Du kan lese litt om førstekvadratsetning i artikkelen vårt Første kvadratsetning.

$ii: y=-x^2-2x-1=-(x^2+2x+1)=-{(x+1)}^2$

Dette er et fullstendig kvadrat.

$i: y=x^2+4x-1$

Her kan vi ikke umiddelbart kjenne igjen 1. eller 2. kvadratsetning (det er ikke et fullstendig kvadrat), så vi må gjøre noe med uttrykket for å kunne bruke en kvadratsetning på det. Første kvadratsetning er slik

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Hvis vi prøver oss med $a=x$ og $b=2$ blir det slik

${(x+2)}^2=x^2+4x+4$

Hvis vi ser tilbake på uttrykket i

$x^2+4x-1$

og for å få siste leddet til å bli 4 kan vi legge til 5 samtidig som vi trekker fra 5 (dette er lov så lenge vi ikke endrer det opprinnelige uttrykket, og det gjør vi ikke siden $+5-5=0$). Da blir det slik

$y=x^2+4x-1$

$y=x^2+4x-1+5-5$

$y=x^2+4x+4-5$

$y={(x+2)}^2-5$

Her kan vi faktisk bruke tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) til å faktorisere enda mer. Du kan lese mer om den tredje kvadratsetningen i artikkelen vår Konjugatsetningen.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Nå bruker vi denne på uttrykket og får

$y=\left(\right(x+2)-\sqrt{5})\left(\right(x+2)+\sqrt{5})$