Hva er en funksjon?

Her er et spørsmål jeg lurer på: Hva er en funksjon? Synes ikke vi har fått en skikkelig forklaring på hva det er.

En funksjon er en tilordning. En (utregnings-)regel gir deg en tilordning. Regelen sier hvilke to tall som hører sammen. Tallene du setter inn kalles punkter. Regelen, $f$, gir deg for hver $x$ tilbake et tall $f\left(x\right)$. Disse "returtallene" kalles verdier. Den lille $f$-en er funksjonens navn, og når vi skriver $f\left(x\right)$ så sier vi også at funksjonen f avhenger av en variabel som heter $x$ ("$f$er en funksjon av $x$").

En funksjon er bestemt av grafen sin. Grafen er alle tallpar $(x,y)$ med $y=f\left(x\right)$. Funksjonen $f\left(x\right)=3x-4$ har grafen $y=3x-4$, som er en linje. For å tegne denne linjen i et koordinatsystem trenger vi to koordinater. Vi setter inn noen punkter $x$ i regelen: Velger vi $x=2$ kan vi regne ut at  $f\left(2\right)=3\cdot 2-4=2$, så punktet $(2,2)$ er med i grafen. Hvis vi velger $x=3$ kan vi regne ut at  $f\left(3\right)=3\cdot 3-4=5$, så $(3,5)$ skal også med. Dermed er grafen til $f$ den rette linjen som går gjennom de to punktene $(2,2)$ og $(3,5)$.

Matematikere vil ha det presist og skriver 

$f:ℝ\to ℝ$ , $x\mapsto f\left(x\right)$

En funksjon, $f$, fra punkter (reelle tall; $ℝ$) til verdier (reelle tall; $ℝ$), tilordner til hvert punkt $x$ en og bare en verdi $f\left(x\right)$.

Det finnes også andre typer funksjoner enn dette, felles for dem er at de tar punkter og gir tilbake verdier.