Derivasjon av eksponential funksjon, e^x

$f\left(x\right)=x^2{e}^{2x}$

Jeg forstår ikke hvorfor og hvordan og noenting med dette me då derivere "e"

Vi tolker det slik at du skal derivere den oppgitte funksjonen, $f\left(x\right)=x^2{e}^{2x}$ .

Funksjonen er produktet av $x^2$ og $e^{2x}$ og derfor må vi bruke derivasjonsregelen for produkt. La $x^2=u$ og $e^{2x}=v$ og ifølge regelen er den deriverte til funksjonen $f$ lik

1) $f^{\prime }\left(x\right)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

La oss derivere $u$ og $v$ hver for seg først og deretter sette inn i uttrykket for den deriverte av $f$. Vi får at

 $u^{\prime }=2x$ 

Nå skal vi derivere $v$. Som du selv skriver har dette noe med den e. Dette er en funksjon som har fått eget navn, eksponentialfunksjon. Vi har gitt denne funksjonen et navn da vi ikke kan være nøyaktige nok (ha med alle desimaler) og det er tidskrevende hver gang å skrive det helt ut da tallet e står for 2,71828... . Videre har det seg slik at 

 ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ 

Dette betyr at den deriverte er den samme som funksjonen. MEN hvis du ser på v, så er e opphøyd i $2x$. Dette gjør at vi må se på denne funksjonen på en litt annen måte. Se hva som egentlig skjer med en verdi av $x$. Først så blir $x$ multiplisert med 2 og deretter er e opphøyd i resultatet, ikke sant? Vi kaller $2x$ for kjernen og vi bruker kjerneregelen for derivere $e^{2x}$. Kjerneregelen har Orakelet allerede forklart i Derivasjon med kjerneregelen.

Vi bruker denne regelen og deriverer v:

 $v^{\prime }={\left(e^{2x}\right)}^{\prime }={\left(2x\right)}^{\prime }\cdot e^{2x}=2e^{2x}$ 

Nå kan vi gå tilbake til vår funksjon $f$ og finne den deriverte til denne ved å bruke de uttrykkene vi har funnet. Vi setter inn i 1) for $u$ og $v$ og de deriverte av disse:

 $f^{\prime }\left(x\right)=2x{e}^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}=2x{e}^{2x}+2x^2{e}^{2x}=2x{e}^{2x}(1+x)$