www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Mia og Marius i Spania

Mia og Marius er i byen El Puerto de Santa Maria langt sør i Spania og besøker bestefar Jan. Han jobber for et norsk oljeselskap som bygger oljeplattformene sine der.

Historien

–- Skal vi reise til Cadiz og bade? spør Mia.
-  Ja, det gjør vi. Jeg tror jeg smelter, svarer Marius.

De har vært heldige med været; det er strålende sol og så varmt at de drømmer om å bade selv om temperaturen i vannet ikke er mer enn 14 grader. For å komme til Cadiz, må de først ta buss til jernbanestasjonen og deretter tog.

–- Når er det egentlig bussene går? spør Marius mens han ser på oversikten over avgangstider. Mia kommer bort og kikker hun også.
–

Bussen til Cadiz

- Godt spørsmål, sier hun. De har noen rare rutetider her.

 

Oppgave 1

Bussen har avgang presis klokken 10.00, og deretter er det 25 minutters mellomrom mellom avgangene. Hvor mange timer er det til neste gang bussen har avgang akkurat når klokka er hel?

Mai og Marius går av bussen nede i byen. På begge sidene av gaten vokser det appelsintrær som gjør gaten om til en lang allé. Mens de venter på at toget skal gå setter de seg ned og leker med appelsinene som har falt ned på bakken. Noen er oransje og modne mens noen er nesten helt grønne.

-– Hei, se her, sier Marius plutselig. Når jeg legger et passende antall appelsiner til dette mønsteret, danner de nye firkanter, og alle firkantene blir kvadrater. Kanskje det går an å lage en matematisk regel ut av mønsteret?


Etter å ha eksperimentert en stund, utbryter Mia:

–- Ja, selvsagt, nå ser jeg regelen. Kvadratene kan brukes til å finne summen av oddetallene.

Oppgave 2

Marius laget flere figurer av appelsinene, alle etter samme mønster som dette:

Appelsiner lagt i kvadrater. Første kvadrat har 4 appelsiner, andre har 9 og siste har 16.

Kan du fortsette mønsteret og finne en regel for hvordan du kan finne summen av de første oddetallene, for eksempel 1+3+5+7?

Litt senere sitter de på toget og humper mot Cadiz.

-– Her står det at Cadiz kanskje er Europas eldste fortsatt bebodde by, sier Marius og titter opp fra nettbrettet. Byen ble anlagt av fønikerne for over 3100 år siden.

–- Jeg husker at vi lærte om fønikerne på skolen, sier Mia. De kom fra det som i dag er Libanon pluss litt av Syria og Israel. De var nok veldig flinke til å navigere, for de oppdaget øyer som ligger langt ute i Atlanterhavet, som Kapp Verde og Azorene. Og så la de grunnlaget for det som er blitt vårt alfabet. Lurer på om de også var interessert i regning?

- Her står det i alle fall om en tallrekke som ble funnet for noen år siden og som antakelig går ut på å finne neste tall i rekken.

2 5 11 23 47 ?

Oppgave 3

Hvilket tall er det neste i denne rekken?

Mia og Marius kommer fram til Cadiz, og drar rett til stranden for å bade. Det er gøy, men vannet i Atlanterhavet er ikke særlig varmt, så de plasker ikke rundt veldig lenge. Etter badet rusler de langs strandpromenaden og ser utover Atlanterhavet mot Amerika - kanskje akkurat som fønikerne gjorde for over 3000 år siden.

-– Tenk, herfra reiste fønikerne ut på sine turer, mumler Marius. De reiste ut i retning av ingenting og fant Kapp Verde-øyene og Azorene.

-– Ja, og senere reiste Colombus ut på to av sine turer herfra, sier Mia. Det er ikke rart at Cadiz ble en av Europas mest velstående byer selv om en jammen ikke skulle tro det idag.

-– Nei, men det ser ut til å gå litt bedre nå, sier Marius. De pusser jo opp mye her og der borte holder de på å plante palmer. Skal vi stikke bort og se på?

-– Ja, det kan vi jo gjøre, sier Mia. Se på den flotte parken her.

Palmer og en gartner som sier "Las Palmas".


Heldigvis er det en av gartnerne som kan engelsk. Han sier at de har 12 palmer som skal plantes, og at de lurer på hvordan de skal gjøre det.

–- Vi tenkte at det kanskje kunne gjøres på en litt annen måte enn bare i to rekker. Har dere lyst til å være med på å komme med forslag?

-– Ja, gjerne, sier Mia. Vi liker godt slike oppgaver. –12 stykker, sa du? Hm, hva kan vi finne på for et lurt mønster da?

-– Jeg har et forslag, sier Marius. Hva hvis dere planter dem slik at det blir 6 rette linjer med 4 palmer i hver linje. Er ikke det et morsomt mønster da?

-– Strålende, svarer de andre. Da planter vi dem slik, og så får dere komme tilbake om noen år og se hvordan det har blitt.

Oppgave 4

Kan du finne en måte å plante de 12 palmene på slik at det er 6 forskjellige rette linjer hvor det står 4 palmer i hver linje?

Fasit

Oppgave 1

5 timer. Neste hel-avgang går klokken 15.00.
( I forhold til halvtimesruter vinner de 5 minutter per avgang. for å vinne en hel time og komme til en ny avgang som går hel må de derfor ha tolv 5-minutters gevinst. 12 halvtimer ville gitt 6 timer og med en times gevinst betyr det at det er 5 timer mellom hver hel-avgang.)

Oppgave 2

Summen av oddetallene er
1 = 1 = 1·1
1+3 = 4 = 2·2
1+3+5 = 9 = 3·3
1+3+5+7 = 16 = 4·4
1+3+5+7+9 = 25 = 5·5
Summen blir kvadrattallene. Dette kan ses fra at vi hele tiden lager kvadratiske figurer av appelsinene. Antallet appelsiner i en sidekant finnes ved å ta halvparten av summen av første og siste oddetall i figuren.

Oppgave 3

Rekken framkommer slik:
22+1=5
25+1=11
211+1=23
223+1=47
247+1=95
så neste tall er 95.

Oppgave 4

Palmene kan plasseres slik:

 

Davidsstjerne med et punkt i hvert av hjørnene og i hvert krysningspunkt mellom linjene i de to trekantene som er lagt opp på hverandre.

Skrevet av

Nils Voje Johansen
Nils Voje Johansen
Arne B. Sletsjøe
Arne B. Sletsjøe

Institusjon

Universitetet i Oslo