www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Mia og Marius på Matematikkdagen

Det er første gang Mia og Marius skal ha "Matematikkdag"! De skal først møte Mattemagikeren der de skal løse en fyrstikkoppgave. Deretter møter de mattelæreren og får en oppgave fra henne. Etter en lang dag kommer de frem til den siste oppgaven, som er spillet Hanois tårn.

Historien

– I dag tror jeg det blir morsomt på skolen, sier Mia. Det er første gang vi skal ha "Matematikkdag", tenk, en hel dag bare med matematikkoppgaver!
– Ja, håper bare de har funnet på noen interessante oppgaver, svarer Marius.

 

Mattemagiker som peker på et rektangel laget av fyrstikker.

På skolen har lærerne delt inn elevene i grupper. Mia og Marius skal først møte Mattemagikeren. Hun er kledd i en sort drakt med en spiss sort hatt på hodet.

– Denne figur er laget av 12 fyrstikker. Ta bort to fyrstikker slik at det blir dannet to kvadrat. Se og Tenk! Fortell meg så hva forholdet mellom kvadratenes sidelengder og deres areal er, messer Mattemagikeren.

Oppgave 1
Et stortkvadrat der sidelengdene er to fyrstikker og ved hjelp av fire fyrstikker er det store kvadratet delt i fire like store små kvadrater. a) Ta bort to fyrstikker slik at det blir dannet to kvadrat.
b) Hva er forholdet mellom sidelengdene på kvadratene?
c) Hva er forholdet mellom arealene til kvadratene?

– Da jeg skjønte hva hun var på jakt etter gikk jo det greit, hvisker Marius i det de går mot neste post. Her treffer de mattelæreren sin.

– Håper dere kan divisjon og multiplikasjon godt, sier hun. Dere skal nemlig finne et tall som er slik at enten du deler det på 2, 3, 4, 6, 8 eller 12 så får dere 1 til rest.

Oppgave 2
Finn det minste tallet som er slik at du får 1 til rest enten du deler på 2, 3, 4, 6, 8 eller 12.

Gymlæreren Bjarne synes gym e gøy.

Etter en lang dag er de kommet frem til den siste oppgaven. Her er det Bjarne, gymlæreren til Mia og Marius, som møter dem.

– Her er et spill som heter Hanois tårn. Det har tre loddrette pinner og ringer av forskjellig størrelse som skal tres på pinnene, sier Bjarne. Til å starte med ligger ringene på én pinne med den største ringen i bunnen og så mindre og mindre ringer til den minste som er på toppen. Spillet går ut på å flytte tårnet av ringer fra startpinnen til en annen etter følgende regler:

1) Bare den øverste ringen på en pinne kan flyttes til en annen pinne.  
2) Ingen ring kan settes over en ring som er mindre enn den selv.

Det gjelder å flytte tårnet ved hjelp av færrest mulig trekk.

Mia begynner å eksperimentere. Først bruker hun bare 2 ringer. Det går greit, da trenger hun 3 trekk. Så bruker hun 3 ringer, det går også greit. Slik fortsetter hun og fyller ut en tabell.

Antall ringer 2 3 4 5 6
Minste antall trekk 3 7 15    

 

Etter en stund har hun fylt ut tabellen opp til 4.
– Bra, sier Bjarne.

– Kan du finne en sammenheng mellom antall trekk Mia trenger for 3 ringer i forhold til 2 ringer. Og hvor mange hun trenger for 4 i forhold til 3 og så videre, spør han Marius.

Hanois tårn

Oppgave 3
a) Eksperimenter med Hanois tårn og se om du får til å flytte på så få trekk som Mia fikk til. Får du til å fylle ut resten av tabellen?
(ønsker du å spille Hanois tårn, se i høyre spalte!)
b) Hvis du vet hvor mange trekk som trengs for å flytte 4 ringer, hvordan kan du da regne ut hvor mange trekk som trengs for å flytte 5 ringer? (Forsøk å finne et mønster ved å se på de kolonnene du har.)

Fasit

Oppgave 1

a)

Fjerne to av fire fyrstikker inne i det store kvadratet. Da vil du få et stort kvadrat (med sidelenge 2 fyrstikker) og et lite kvadrat (med sidelengde 1 fyrstikk) i et hjørne i det store kvadratet.


b) Sidene i det store kvadratet er dobbelt så lange som sidene i det lille.

c) Arealet av det store kvadratet er fire ganger arealet av det lille.

 

Oppgave 2

Tallet 25 gir 1 til rest enten du deler på 2, 3, 4, 6, 8 eller 12 fordi alle disse tallene går opp i 24.


Oppgave 3

a) For å flytte 5 ringer trenger du minst 31 trekk.
For å flytte 6 ringer trenger du minst 63 trekk.

b) Skal du flytte 5 ringer fra pinne 1 til pinne 3 må du først flytte de 4 øverste til pinne 2. Det tar 15 trekk. Så flytter du den store ringen til pinne 3. Deretter skal de 4 ringene flyttes fra pinne 2 til pinne 3, det tar igjen 15 trekk. Altså totalt 15+1+15=31. For å flytte 6 ringer trenger du da 31 + 1 + 31 = 63 trekk, osv.

Skrevet av

Nils Voje Johansen
Nils Voje Johansen
Arne B. Sletsjøe
Arne B. Sletsjøe

Institusjon

Universitetet i Oslo