Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2015 Vår

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 9 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
  • vurderer om svar er rimelige

 

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

  • London Eye, en.wikipedia.org, www.saylor.org (01.12.2014)
  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DNB

Deriver funksjonene

a)

fx=-3cosx

Løs oppgaven her

b)

gx=sin2x

Løs oppgaven her

c)

hx=x3e-x

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4DNF

Regn ut integralene

a)

12x2+2x-3dx

Løs oppgaven her

b)

3xx2-x-2dx

Løs oppgaven her

c)

xlnxdx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DNJ

a)

Bruk en integrasjonsmetode til å vise at  xex2dx=12ex2+C

Løs oppgaven her

b)

Løs differensiallikningen

y'+2xy=4x   ,    y0=8

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4DNS

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

Sx=2+2x+2x2+2x3+...   ,    x0

a)

Bestem konvergensområdet til rekken.

Løs oppgaven her

b)

Bestem  x  slik at  Sx=4

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DO2

Punktene  A3, 0, 0B0, 4, 0  og  C0, 0, 1  er gitt.

a)

Bestem  AB×AC. Bestem arealet av  ΔABC.

Løs oppgaven her

b)

Punktene AB og C  ligger i et plan  α. Bestem likningen for planet  α.

Løs oppgaven her

c)

En partikkel starter i origo  O0, 0, 0. Etter tiden  t  er partikkelen i et punkt  P  gitt ved

OP=t, t23, -t4     ,     t0

Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet  α?  Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer  α.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4DO7

En tallfølge  an  er gitt ved at  a1=-1  og  an+1=an+n-1

Bruk induksjon til å bevise at  an=nn-32  ,    n

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4DRB

Funksjonen  f er gitt ved

fx=3-3cos1-x2  ,     x-π2, π2

a)

Bestem nullpunktene til  f ved regning.

Løs oppgaven her

b)

Bruk f'x til å bestemme x-verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til  f.

Løs oppgaven her

c)

Nedenfor er det tegnet tre grafer. Én av dem er grafen til f. Avgjør hvilken.

Begrunn svaret.

Løs oppgaven her

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4DRF

En trigonometrisk formel er gitt ved

cosu+v=cosucosv-sinusinv

a)

Bruk formelen til å bestemme et uttrykk for cos2x.

Løs oppgaven her

b)

Skriv uttrykket  cos4x-sin4x  så enkelt som mulig.

Løs oppgaven her

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4DRI

Løs likningen

sinx+cosx=1      ,      x0, 2π

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4DRK

Roger planlegger en sykkeltur. Han regner med å kunne starte med farten 26 km/h. Etter hvert vil farten avta etter formelen

vt=26-0,08st

-  vt og st er begge funksjoner som er avhengige av tiden t målt i timer

-  vt er farten målt i kilometer per time

-  st er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer

 

a)

Bestem farten etter 125 km.

Løs oppgaven her

b)

Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen

s't=26-0,08st

Bestem st når  s0=0.

Løs oppgaven her

c)

Hvor langt sykler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 125 km?

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4DRO

Hjørnene i en pyramide ABCP er  A0, 0, 0B1, 0,-1,  C1, 1, 0  og  Pt, 2t+1, t2+2 ,  t.

a)

Bestem et uttrykk for volumet  Vt  av pyramiden.

Løs oppgaven her

b)

Bestem koordinatene til P slik at  Vt=72.

Løs oppgaven her

c)

Bestem koordinatene til  P  slik at volumet  Vt  blir minst mulig.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4DRT

London Eye er et pariserhjul med diameter lik 135 m. En runde tar 30 min. Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger 2 m over bakkenivå.

Etter t min fra ombordstigning er en passasjer ht m over bakkenivå. Det kan vises at

ht=-67,5cosπ15t+69,5

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til  h  for  t0, 30. Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.

Løs oppgaven her

b)

Bestem vendepunktene på grafen til  h.

Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av  h'7,5  og  h'22,5  gir.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4DS9

Funksjonen f  er gitt ved

fx=x2+ax+b   ,    Df=

Tangentene i punktene  Qs, fs  og  Rt, ft  skjærer hverandre i et punkt  P.

Se skisse 1.

a)

Vis at likningene for de to tangentene er

gx=a+2sx+b-s2  og  hx=a+2tx+b-t2

Løs oppgaven her

b)

Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved  xP=s+t2.

Løs oppgaven her

c)

Den vertikale linjen  x=xP  deler området mellom grafen og tangentene i to områder.

Se skisse 2.

Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.

Løs oppgaven her
Hopp over bunnteksten