www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Kombinatorikk – når begivenheter og utfallsrom er vanskelige å telle opp

Hittil har vi sett på sannsynligheter hvor det er enkelt å telle opp antall mulige utfall i utfallsrommet, og antall gunstige utfall i de begivenhetene vi er interessert i. Vi kunne for eksempel sette opp alle mulighetene i en tabell og dermed få full oversikt. Skal vi derimot se på sannsynligheten for å vinne med en lottorekke, eller sannsynligheten for å trekke en bestemt rekke av kort fra en kortstokk, blir det vanskeligere å telle opp utfallsrommet direkte. Kombinatorikk er den greinen av matematikk som tar for seg å gjøre slike opptellinger på en systematisk måte.

Vi skal starte med utfallsrommet for kast med to terninger. Det er seks forskjellige utfall for den ene terningen, og seks for den andre. Ett utfall med den ene terningen kan derfor alltid kombineres med seks mulige utfall på den andre terningen. Sagt på en annen måte: Det er seks mulige utfall per mulig utfall i det første terningkastet. Derfor:

    Antall mulige utfall totalt  = 66=36

Men hva om vi for eksempel kaster fire terninger? Hvor mange utfall fins da i utfallsrommet? Den første terningen har 6 mulige utfall, som kan kombineres med 6 forskjellige utfall på den andre terningen. På de to første terningene er det derfor 66=36 mulige utfall. De 36 mulige, kombinerte utfallene på de to første terningene kan hver kobles med 6 forskjellige utfall på den tredje terningen. Med tre terninger er det dermed 366=216 mulige utfall. Hver av de 216 mulige utfallene fra de tre første terningene kan koples med 6 forskjellige utfall på den fjerde terningen. Med fire terninger kan vi dermed få  2166=1296 mulige utfall. Vi kan lett forestille oss hvor vanskelig det er å sette opp en tabell med alle de 1 296 mulige utfallene i utfallsrommet.


 

Eksempel 1


Hva er sannsynligheten for å trille slik at summen blir 4 med fire terninger? Alle terningene må vise 1. Begivenheten A = {(1, 1, 1, 1)} har bare ett gunstig utfall. Antall mulige utfall, er 1296, så sannsynligheten for A er:

P(A)=11296
Sannsynligheten for å få sum 4 med kast av fire terninger er altså 11296.

Eksempel 2


En skoleklasse har 5 forskjellige lærere, 3 kvinnelige og 2 mannlige. Klassen har 25 elever, 14 gutter og 11 jenter. Klassen skal velge en komité som består av fire personer: en kvinnelig lærer, en mannlig lærer, en gutt og ei jente fra klassen. Hvor mange forskjellige sammensetninger av en slik komité kan tenkes?

  • Hver av de kvinnelige lærerne kan kombineres med en av de mannlige. Det er altså 32=6 forskjellige par fra lærerne som kan velges ut.
  • Hver av de 6 parene med lærere kan kombineres med hver av de 14 guttene. Det er 614=84 forskjellige måter å velge ut en mannlig lærer, en kvinnelig lærer og en gutt fra klassen.
  • Hver av de 84 mulighetene kan kombineres med hver av de 11 jentene. Det er derfor 8411=924 forskjellige kombinasjoner av 1 kvinnelig lærer, 1 mannlig lærer, 1 gutt og 1 jente fra klassen.


Legg merke til at ordet sannsynlighet ikke er nevnt i dette eksempelet. Årsaken er at det ikke nødvendigvis er slik at alle kombinasjoner av lærere og elever er like sannsynlige (Kanskje noen elever nekter?). Hvis komiteen for eksempel velges ved loddtrekning, derimot, er alle kombinasjoner like sannsynlige.

Publisert: 01.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Gunstig utfall

    Et utfall som er med blant dem vi vil ta for oss i en hendelse. Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6 med en jevn terning. Av de mulige seks utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

  • Kombinatorikk

    Et felt i matematikken som studerer kombinasjoner av objekter i en mengde delt opp etter bestemte regler.

    Eksempler :
      - dokumenter (eksempel: antall måter de kan ordnes på)
      - lottotall (eksempel: hvor mange resultater)

  • Sannsynlighet

    Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en ting skal hende.
    En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

    Sannsynlighet 0 betyr at en ting helt sikkert ikke skjer.
    Sannsynlighet 1 betyr at en ting helt sikkert skjer.

    Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

    Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

  • Utfall

    Mulig resultat av en hendelse.

    Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks.