www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Sannsynlighet ved komplementære hendelser

I tillegg til å vise hvordan vi regner ut sannsynligheten ved komplementære hendelser, skal vi også se på et eksempel. I dette eksemplet vil vi se at det utvilsomt er fornuftig og arbeidsbesparende å gå via komplementærhendelser for å beregne sannsynlighet i enkelte tilfeller.

Sannsynligheten for begivenheten A, å få 6 når vi kaster en terning, er lik 16. Sannsynligheten for ikke å få 6, det vil si sannsynligheten for hendelsen AC, blir da 116=56. Dette gjelder selvsagt også generelt: 

Regel
For en hendelse A og komplementærhendelsen AC gjelder at P(AC)=1P(A).


Regelen kan omskrives til

P(A)+P(AC)=1P(A)=1P(AC)    

 

Eksempel


Ved et kast med en terning er sannsynligheten for å få 6 lik 16. Vi spør om hva sannsynligheten er for å få en 6 ved henholdsvis to og tre kast.

Her er det nærliggende å anta at sannsynligheten for å få 6 ved to kast må være dobbelt så stor som for å få en 6 ved ett kast. Men da må vi være forsiktige. For videreføring av resonnementet ville bli at sannsynligheten er 36 ved tre kast, og ved fire kast 46 osv. Ved seks kast skulle vi da være 100 % sikre på å få en sekser, noe de fleste har opplevd slett ikke er tilfelle.

Vi vil derfor analysere tilfellet med to kast litt nøyere. Kall hendelsen å få 6 i første kast for A, og likeledes å få 6 i andre kast for B. Å få 6 ved to kast betyr da å få et utfall i hendelsen AB. Hvis vi legger sammen sannsynlighetene for A og for B, betyr det at muligheten å få 6 i begge kastene, har blitt telt med to ganger. Vi må trekke fra P(AB) én gang for å få det riktige resultatet. Det er nettopp hva vi har sett:

P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=16+161616=1136.

(Merk at P(AB)=P(A)P(B)  siden A og B er uavhengige hendelser).
Resultatet 1136 er litt mindre enn 26.

Hvis vi skulle gjennomføre en tilsvarende analyse for tre kast med en terning, ville det blitt mer komplisert. Men nå er vi heldige, for det fins en annen og enklere måte å tenke på. Vi tar først tilfellet med to terningkast.

Sannsynligheten for å få seks ved to terningkast er lik 1 minus sannsynligheten for ikke å få 6 ved de to kastene, altså verken i første eller andre kast. Sannsynligheten for ikke å få seks ved to kast er lik 5656=2536. Sannsynligheten for komplementærhendelsen, å få (minst en) 6, er da lik 12536=1136.

Ved tre kast ser vi at sannsynligheten for å få (minst en) 6 blir 1(565656)=1125216=9121642%. Og som en kuriositet: Sannsynligheten for å få (minst en) 6 ved seks kast blir 1(56)667 %. Og det er jo langt unna 100 %.

I dette eksemplet ser vi at det utvilsomt er fornuftig og arbeidsbesparende å gå via komplementærhendelser for å beregne sannsynlighet i enkelte tilfeller.

Publisert: 01.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Hendelse

    En hendelse eller begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. En hendelse består av ett eller flere utfall.

  • Sannsynlighet

    Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en ting skal hende.
    En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

    Sannsynlighet 0 betyr at en ting helt sikkert ikke skjer.
    Sannsynlighet 1 betyr at en ting helt sikkert skjer.

    Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

    Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.