www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Sannsynlighet for kombinasjoner av begivenheter

Vi skal nå se på kombinasjoner av begivenheter og prøve å finne regler for å beregne sannsynlighet i slike situasjoner.

Sannsynlighet for kombinasjoner av begivenheter: union

 

Eksempel


Vi vil igjen kaste terning. Vi tenker oss to forskjellige begivenheter, A = {3}, og B = {4, 5, 6}. Hva er så sannsynligheten for et utfall i unionen AB? Da spør vi etter sannsynligheten for å få 3, 4, 5 eller 6.

Den enkleste måten å regne på er å finne at AB={3,4,5,6}, dele antall gunstige på antall mulige, og finne at det er 46=23  sannsynlighet.

Vi kan også tenke oss fram til dette på en annen måte: Siden A og B er disjunkte, er antall gunstige tilfeller, dvs. antall elementer i AB, lik antall elementer i A pluss antall elementer i B. Det betyr at den totale sannsynligheten finnes som sannsynligheten av A, P(A), lagt til sannsynligheten av B, P(B). Vi ser at     

P(A)=16,P(B)=36.         

Når A og B er disjunkte mengder, blir dermed den totale sannsynligheten:

P(AB)=P(A)+P(B)=16+36=46=23.

Dette gjelder generelt:

 

Regel
Dersom mengdene A og B er disjunkte, så er sannsynligheten for et utfall i unionen AB lik summen av sannsynlighetene til utfall i A og i B: P(AB)=P(A)+P(B).



Men hvis vi isteden tenker oss A = {3, 5}, og B = {4, 5, 6}, kan vi ikke bare legge sammen sannsynlighetene for A og B. Sannsynligheten for et utfall i AB må jo fortsatt være 46=23. Men sannsynligheten for A, dvs. P(A) er nå 26=13. Saken er at hvis vi legger sammen P(A) og P(B), vil vi regne med tilfellet at vi får 5 i begge sannsynlighetene. Resultatet er at dette har blitt telt med to ganger. 5 er det eneste tallet som hører til snittet av A og B. Dette betyr at

n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)     

Antall gunstige tilfeller, dvs. antall elementer i AB, lik antall elementer i A pluss antall elementer i B minus antall elementer i AB. Herav kan vi utlede en tilsvarende formel for sannsynlighet:

P(AB)=n(AB)n(U)=n(A)+n(B)n(AB)n(U)=P(A)+P(B)P(AB).    

Dette resonnementet gjelder generelt, og vi kan formulere det slik: Den totale sannsynligheten P(AB) finnes som sannsynligheten av A, P(A), lagt til sannsynligheten av B, P(B), minus sannsynligheten P(AB)  for AB:

P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

 

Sannsynlighet når A er en delmengde av B


Vi ser fortsatt på eksperimentet med å kaste terning, men endrer nå til A = {5}, og bruker som før B = {4, 5, 6}. Da er A en delmengde av B, og vi spør etter sannsynligheten for et utfall i B \ A. Da spør vi etter sannsynligheten for å få 4 eller 6 og ikke 5. Dette blir 26=13.

La oss også se dette på en annen måte: Siden A og B \ A er disjunkte, og B=A(BA), er etter det vi nettopp kom fram til

P(B)=P(A)+P(BA)

og vi får dette resultatet, som også har generell gyldighet:

 

Regel
Dersom vi har to mengder A og B, og AB, så er P(BA)=P(B)P(A)



I vårt eksempel er P(B)=36,P(A)=16, og vi ser at P(B)P(A)=3616=26=13.

Publisert: 01.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Delmengde

    En mengde sies å være en delmengde av en annen mengde B dersom alle elementene også er i B. Eksempel: A er delmengde av B, AB, fordi A={2,3},B={1,2,3,4}

  • Hendelse

    En hendelse eller begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. En hendelse består av ett eller flere utfall.

  • Sannsynlighet

    Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en ting skal hende.
    En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

    Sannsynlighet 0 betyr at en ting helt sikkert ikke skjer.
    Sannsynlighet 1 betyr at en ting helt sikkert skjer.

    Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

    Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

  • Union

    Unionen av to mengder A og B er en ny mengde AB som består av alle elementer som forekommer i minst en av A og B.