www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Potenser med et produkt og en potens som grunntall

Potenser hvor grunntallet er et produkt


Vi starter med produktet 43, og ser på potensen (43)3:
(43)3=434343   
Vi kan bytte rekkefølge på faktorene, og får

    434343=444333=4333

Det blir akkurat på samme måte for et tilfeldig produkt ab opphøyd i en vilkårlig potens n. Vi får da:

(ab)n=abab...ab

Vi kan fortsatt bytte rekkefølge:

abab...ab=aa...abb...b  (n a-er etterfulgt av n b-er)

Det siste uttrykket er jo nettopp anbn.

Resultatet blir følgende

Regel
Produkt av to tall opphøyd i en potens er lik produktet av faktorene opphøyd i samme potens.



Formulert på en annen måte: For vilkårlige tall a og b og naturlig tall n er (ab)n=anbn.


Regelen kan naturligvis utvides direkte til produkt av tre eller flere tall opphøyd i en potens.

Potenser hvor grunntallet er en potens


Som eksempel velger vi potensen 23 og vil opphøye denne i 2. potens:

(23)2=2323  

Vi har funnet ut at når vi multipliserer to potenser med samme grunntall, så beholder vi grunntallet og adderer eksponentene:

2323=23+3=26  

Siden 6=32, betyr dette at

(23)2=232
 
Igjen ser vi at det blir på samme måte om vi opphøyer en potens am i en ny potens n. Da får vi følgende:

 

(a opphøyd i m-te) opphøyd i n-te er det samme som a opphøyd i m-te multiplisert med seg selv n ganger og det er igjen det samme som a opphøyd i (m+m+...+m) der det er n ledd. Alt dette er det samme som a opphøyd i m+n.

 

Regel
Når vi har en potens som grunntall og opphøyer denne i en ny potens må eksponentene multipliseres.



Vi formulerer det også slik:

(am)n=amn      

Av dette kan vi også trekke ut at (am)n=(an)m.

Publisert: 06.03.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Addisjon

    Synonymt med å "legge til", "plusse på".
    Regneoperasjonen 5 + 7 = 12 kalles en addisjon.
    Tallene 5 og 7 kalles ledd, og resultatet kalles en sum.
    Mellom leddene skrives plusstegn (+).

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.
    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Naturlige tall

    Tallene 0,1,2,3,... De naturlige tallene danner grunnlag for alle andre vanlige tall (hele tall, rasjonale tall, reelle tall, komplekse tall) ved at disse kan konstrueres ut fra de naturlige tallene ved matematiske prosesser. Mengden av naturlige tall er ℕ.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).

  • Produkt

    Produktet er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel : 2·7=14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.