www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Potenser og brøker

Potenser hvor grunntallet er en brøk


Vi starter med en brøk 12, og eksponent 5:

(12)5=1212121212    

Som kjent multipliserer vi brøker ved å gange teller med teller og nevner med nevner:

(12)5=1212121212=1111122222=1525=125(=132)

Vi kan igjen velge en tilfeldig brøk som grunntall og en tilfeldig eksponent. La brøken være lik  ab, og eksponenten være n. Vi får

 

Brøken med telleren a og nevneren b er oppøyd i n - te. Det er lik brøken a/b multiplisert med seg selv n ganger (dvs. det er n faktorer). Det er det samme som a mulitplisert med seg selv n ganger delt på b multiplisert med seg selv n ganger. Men det er igjen likt brøken a opphøyd i n-te som teller og b opphøyd i n-te som nevner.


Vi ser at å opphøye en brøk i n er det samme som å opphøye både telleren og nevneren i n.

 

Regel
For enhver brøk ab og naturlig tall n, er (ab)n=anbn.

 

En brøk opphøyd i en potens med negativ eksponent


Vi kan vise at  (ab)n=(ba)n.

Vi har nemlig (ab)n=1(ab)n=1anbn.
     

Vi utvider denne brudne brøken med bn, dvs. ganger med bn over og under hovedbrøkstreken, og får:

1anbn=1bnanbnbn=bnanbnbn=bnan=(ba)n
  
Vi vil formulere også dette som en regel:

Regel
En brøk opphøyd i en negativ eksponent -n er lik den inverse brøken opphøyd i n.
Publisert: 06.03.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Brøk

    En brøk består av tre elementer: teller, brøkstrek og nevner. Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

    25 uttrykker 2 deler av i alt 5 deler. 25 av 20 kr blir altså 8 kr.

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.
    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. Det er n som kalles eksponenten.

    xn = x·x·x···x, n ganger

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette - foran tallet.

  • Nevner

    Tallet eller utrykket som står under brøkstreken i en brøk.
    Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

    Eksempel : 37. Tallet 7 er nevneren.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).

  • Teller

    Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
    Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

    I brøken 59, er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.