www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Potenser med null og negative tall som eksponenter

Utvidelse av potensbegrepet: 0 som eksponent


Vi har undersøkt brøker på formen aman der m > n og funnet at  aman=amn.
Men hva hvis m = n? Vi ser for eksempel enkelt at

2323=1
     
Men hvis regneregelen skal gjelde, blir jo også

2323=233=20
  
Altså: En fornuftig betydning er at 20=1. Slik vil det selvsagt også bli for andre grunntall enn 2. Det gjør ingen forskjell om vi regner med bokstaver: amam=1 og amam=a0.    

Vi bruker dette til en generell bestemmelse om hva et grunntall opphøyd i null skal bety.

 

Definisjon
For ethvert tall a er a0=1 , forutsatt a0.



Altså, et tall opphøyd i null er alltid lik 1, med mindre grunntallet er 0. 00 er ikke definert, det har ingen mening.

 

Utvidelse av potensbegrepet: negativ eksponent


Hva blir aman hvis m er mindre enn n? Tenk som eksempel på a = 9, m = 3 og n = 5.

9395=192

Samtidig burde vi da ha

9395=935=92

Altså: 92=192 .

Dette går også på nøyaktig samme måte for generelle grunntall og eksponenter, og vi velger det som en definisjon.

 

Definisjon
For ethvert tall a og naturlig tall n, er an=1an.



Et grunntall opphøyd i en negativ eksponent er lik 1 dividert på grunntallet opphøyd i den tilsvarende positive verdien til eksponenten.

Vi har nå fått med oss de viktigste reglene for regning med potenser. Men vi skal også se på tre forskjellige tilfeller der grunntallet ikke bare er et tall, men en kvotient, et produkt eller en potens. Reglene som følger blir avledet av de reglene vi allerede har funnet.

Publisert: 06.03.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Brøk

    En brøk består av tre elementer: teller, brøkstrek og nevner. Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

    25 uttrykker 2 deler av i alt 5 deler. 25 av 20 kr blir altså 8 kr.

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. Det er n som kalles eksponenten.

    xn = x·x·x···x, n ganger

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette - foran tallet.

  • Kvotient

    Resultatet av en divisjon kalles kvotienten.
    Eksempel: 32 : 8 = 4
    Her er 4 kvotienten.

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).

  • Produkt

    Produktet er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel : 2·7=14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.