www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Potenser med samme grunntall

Å multiplisere potenser med samme grunntall


En generell potens med grunntall a og eksponent n kan altså uttrykkes

På høyre side av likhetstegnet er det n faktorer.

Da ser vi for eksempel at

4542=(44444)(44)=4444444=47
Det ser ut til at vi kan legge sammen eksponentene:

4542=45+2=47
Dette er alltid riktig. For dersom vi har to tilfeldige tall med grunntall a, for eksempel am  og an , så kan vi multiplisere dem sammen og få det generelle resultatet:

 

Regel
Når vi multipliserer to potenser med samme grunntall, beholder vi grunntallet og legger sammen eksponentene: aman=am+n


Siden vi valgte et tilfeldig grunntall a, og tilfeldige eksponenter n og m, kan vi vite at regelen gjelder uansett hvilke tall vi setter inn for a, n eller m.

 

Å dividere potenser med samme grunntall


Dersom vi ønsker å dele en potens på en annen, og potensene har samme grunntall, kan vi også finne en generell regel. Vi ser igjen først på et eksempel med tall.

7573=77777777      

Vi kan stryke felles faktorer over og under brøkstreken:

77777777=771=77=72
 
Dersom vi igjen velger oss et tilfeldig valgt grunntall a, og to tilfeldig valgte eksponenter m og n, kan vi lage en ny generell formel: 

Brøken der a i m-te er over a i n-te. Det er det samme som a multiplisert med seg selv m ganger (i telleren) og a multiplisert med seg selv n ganger ( i nevneren).


Vi kan forkorte brøken ved å stryke n faktorer over og under brøkstreken:

 

Regel
Når vi dividerer en potens med en annen potens med samme grunntall, beholder vi grunntallet, og eksponenten blir differensen mellom eksponentene i teller og nevner: am-n


Denne regelen er utledet for tilfellet m > n. Men den gjelder også når m er mindre enn eller lik n, som vi skal se i fortsettelsen.

Publisert: 05.03.2008 Endret: 17.08.2012

Begrep

  • Brøk

    En brøk består av tre elementer: teller, brøkstrek og nevner. Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

    25 uttrykker 2 deler av i alt 5 deler. 25 av 20 kr blir altså 8 kr.

  • Differanse (tall)

    Utrykket a - b kalles differansen mellom a og b.

    10 - 2 = 8. Differansen mellom 10 og 2 er 8.

  • Divisjon

    Defineres som den omvendte operasjonen av multiplikasjon. Eks. 6:2=3 fordi 23=6.

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. Det er n som kalles eksponenten.

    xn = x·x·x···x, n ganger

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.
    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

  • Likhetstegn

    Likhetstegnet = forteller at det som står til venstre for likhetstegnet er akkurat like stort som det som står til høyre.

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Potens

    En potens er et produkt der alle faktorene er like.

    Eksempel:
    4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ .
    3-tallet forteller hvor mange ganger 4 her skal stå som faktor. 4 er her grunntallet og 3 er eksponenten i potensen.

    Generelt:
    bª betyr et produkt med a stykker faktorer som alle er lik b.
    Slik:
    b · b · b · b · b ………·b (b er faktor a ganger).