www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Integrasjon, første eksempel

Integrasjon og differensialllikninger er ganske så like. La oss se hva vi mener med dette.

I lynkurset Derivasjon ser vi på funksjoner på formen y=f(x) og ønsker å finne den deriverte f(x), en ny funksjon som i hvert punkt gir oss

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen f(x) i et punkt x=a, er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentan vekstfart
til den originale funksjonen f(x), som også kan bli betraktet som «den beste lineære approksimasjonen» til funksjonen.

I lynkurset Integrasjon går vi andre veien, altså gitt en funksjon y=f(x) finner vi en funksjon F(x) slik at F(x)=f(x). Dette er et første eksempel på en differensiallikning. Hvis vi ønsker å finne alle funksjoner f(x) slik at f(x)=2x kan vi integrere begge sider: f(x)dx=2xdx. Vi kan løse begge disse integralene: f(x)+C1=x2+C2 hvor C1 og C2 er vilkårlige konstanter. Dette gir oss løsningen f(x)=x2+(C2C1) og vi skriver gjerne C=C2C1 for å få løsningen på formen f(x)=x2+C. Merk at vi har gjort det samme som å løse oppgaven «Finn det ubestemte integralet 2x dx, men bare med en annen formulering.

Da konstanten C ovenfor er vilkårlig har vi funnet uendelig mange løsninger til differensiallikningen. Hvis vi ønsker å finne en entydig løsning, kan vi sette en initialbetingelse som betyr at vi vet hva verdien til f(x) er i et punkt. Om vi vet at f(1)=3, kan vi sette inn f(1)=12+C=3 og deretter løse for C. Da får vi den entydige løsningen f(x)=x2+2.

Publisert: 18.07.2016 Endret: 18.07.2016