www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Volum av et omdreiningslegeme

For å kunne finne volumet av et omdreiningslegeme, må vi bruke et bestemt integral.

La y=fx.

 

Forestill deg at delen av kurven mellom x=a og x=b roteres 360 om x - aksen. Da vil vi få et omdreiningslegeme eller rotasjonslegeme.

Et omdreiningslegeme (rotasjonslegeme) fremkommer ved at en plan figur dreier seg om en akse i figurens plan. Overflaten av et omdreiningslegeme er derfor en omdreiningsflate. Eksempler på omdreiningslegemer er kule, ellipsoide, sylinder og kjegle.

 

Volum av et omdreiningslegeme 

La  fx være en funksjon definert i punktene  x=a og x=b. Ved å dreie denne delen av kurven  om x - aksen får vi et legeme med volum lik

V=πab(f(x))2x.

 

Eksempel - volum av en kule

Likningen 

x2+y2=r2

representerer en sirkel med sentrum i origo med radius r.

Grafen til funksjonen y=r2-x2 er en semisirkel. Vi roterer denne kurven 360 mellom x=-r og x=r om x - aksen til å forme en kule. Nå er

x2+y2=r2 og derfor er y2=r2x2 .

Vi finner volumet ved å bruke formelen over 

V=πaby2dx=π-rrr2-x2dx

=π(xr213x3)rr ,

=π((r(r))r213(r3(r)3)),

=π(2r323r3),

=π43r3,

og vi er ferdige.

Publisert: 18.04.2016 Endret: 19.07.2017