Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Grenseverdisetningene

Idéen om grenseverdier hjelper oss lite hvis vi ikke kan bruke den. Her skal vi se på regneregler for grenseverdier gjennom noen eksempler.

Vi starter med et teorem, som vi så bruker på noen eksempler.

Teorem. Grenseverdisetningene

Anta at limxa fx=A og limxa gx=B, der A og B er tall. Da gjelder:

  1. limxa fx+gx=A+B
  2. limxa fx-gx=A-B
  3. limxa fxgx=AB
  4. limxa fxgx=AB

 

La oss for eksempel ta grenseverdien limx2(x2+ln x). 

Vi bruker grenseverdisetning 1: Dersom grenseverdiene eksisterer, har vi at

limx2(x2+ln x)=limx2x2+limx2 ln x.

Fordi både x2 og ln x er kontinuerlige i sine definisjonsområder, og derfor spesielt i x=2, får vi dermed at

 limx2(x2+ln x)=limx2x2+limx2 ln x=22+ln 2=4+ln 2.

Det er nesten alltid lett å beregne grenseverdier på formen limxafx når f(x) er definert i x=a. Så lenge f er kontinuerlig, 
er det bare å sette inn x=a i uttrykket og regne ut. Problemene kommer dersom f(x) ikke er definert når x=a. Et typisk eksempel på dette er når uttrykket til f(x) er en brøk,

fx=g(x)h(x),

der h(a)=0. I slike situasjoner er det to muligheter. Dersom g(a) er forskjellig fra 0, er saken grei. Da eksisterer ikke grenseverdien, fordi

 limxafx=limxag(x)h(x)="g(a)0"=±.

Hvis g(a)=0, sier vi gjerne at vi har et "00"-uttrykk. I slike tilfeller kan det hende at grenseverdien eksisterer, men vi må ofte bruke noen triks for å finne den. Det mest grunnleggende trikset, som vi viser i de neste to eksemplene, er å forkorte brøken.

 

Eksempel 1

Oppgave. Finn grenseverdien limx22x24xx2 hvis den eksisterer.

Løsning. Her blir både teller og nevner lik null dersom vi setter inn x=2. I slike tilfeller kan vi finne grenseverdien ved å forkorte brøken. Vi finner:

 limx22x24xx2=limx22x(x2)x2=limx22x=4.

 

Eksempel 2

Oppgave. Finn grenseverdien limx33x2x+1 hvis den eksisterer.

Løsning. Både teller og nevner blir lik null når x=3, så vi kan ikke sette inn direkte. Som i forrige eksempel ønsker vi å forkorte brøken, men for å få til det, må vi ordne litt på uttrykket. Ifølge 

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

 (a+b)(ab)=a2b2.

konjugatsetningen
har vi at

 (2x+1)(2+x+1)=4(x+1)=3x.

Dersom vi ganger oppe og nede i brøken med 2+x+1, får vi derfor

 3x2x+1=(3x)(2+x+1)(2x+1)(2+x+1)=(3x)(2+x+1)3x=2+x+1.

Dermed fikk vi forkortet bort hele nevneren, og grenseverdien er

 limx33x2x+1=limx3(2+x+1)=2+3+1=4.

 

 

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten