www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Integrasjon ved substitusjon

Produktregelen for derivasjon ga opphav til en nyttig integrasjonsteknikk, nemlig delvis integrasjon. En annen derivasjonsregel vi kan utnytte tilsvarende er kjerneregelen. Integrasjonsteknikken vi får ut av dette, kalles integrasjon ved variabelskifte, eller substitusjon.

 

Teorem. Substitusjon

Dersom f er 

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en funksjon uten "hopp" – for en funksjon man kan tegne vil det si at den kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret.

kontinuerlig
og u er , er

fuxu'xdx=fudu,

der vi må sette inn u=ux på høyresiden etter å ha regnet ut integralet.

Beviset er mest for spesielt interesserte og plassert nederst i artikkelen.

Dette kan se litt lite leselig ut ved første øyekast, så vi bruker teoremet på et eksempel.

Eksempel

Oppgave. Finn det ubestemte integralet cosx2-12x dx.
Bevis. Her ser vi at cosinusfunksjonen i integranden har en kjerne, nemlig x21. Det er et tegn på at vi bør prøve substitusjon, med u(x)=x21. Da blir u(x)=2x, og vi får følgende utregning:

cosx2-12x dx=cosuxu'x dx=*cosudu=sinu+C.

I overgangen merket * brukte vi teoremet. Til slutt må vi huske å sette inn u=u(x)=x21 i svaret. Resultatet av integrasjonen blir da at

cosx2-12x dx=sinx2-1+C.

Vi kom i mål, men det er fort litt tungvint å skrive og føre når man bruker en "omvendt kjerneregel" på denne måten. I stedet er det vanlig å føre substitusjon litt annerledes, for å gjøre det lettere å holde styr på ting.

I den alternative føringen bruker vi notasjonen dudx om den deriverte:

u'x=dudx.

Ganger vi opp med dx her, får vi at


u'xdx=du.

Hvis du ser nøye etter i teoremet, ser du at det er akkurat denne utskiftingen som har skjedd: Vi bytter ut u'xdx med du, og skriver u i stedet for u(x).

Basert på dette, fører vi utregningen av integralet i eksempelet over slik:

  • Sett x2-1 til å være kjernen: ux=x2-1
  • Deriver: dudx=2x
  • Gang med dx: du=2xdx

Nå kan vi sette inn dette i integrasjonen og regne ut:

cosx2-12x dx=cosudu=sinu+C=sinx2-1+C.

Som vi ser, kan substitusjonsmetoden forvandle et komplisert integral til et som er mye lettere ved et enkelt håndgrep. Av den grunn gir substitusjon ofte svært pene og tilfredsstillende utregninger!

Bevis for teoremet

Vi deriverer uttrykkene på begge sider av likhetstegnet. Dersom vi får samme svar, er de to ubestemte integralene like. Den deriverte av venstresiden er lett – den blir f(u(x))u(x).
På høyresiden må vi være mer forsiktige, siden vi skal derivere med hensyn på x, mens integrasjonsvariabelen er u. La F være en antiderivert til f. Da er

fudu=Fu+C


Når vi setter inn u=u(x), blir høyresiden i uttrykket i teoremet lik F(u(x))+C. Dette
deriverer vi nå med hensyn på xved å bruke kjerneregelen. Da får vi

Fux+C'=F'uxu'x=fuxu'x.

Vi fikk samme svar, og teoremet er dermed bevist.


Publisert: 20.03.2014 Endret: 17.08.2016