www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Flere eksempler på integrasjon av rasjonale uttrykk

Vi avslutter dette lynkurset med noen videre eksempler på å integrere rasjonale uttrykk.

Eksempel 1

Sørg for å huske hvordan du gjør delbrøkoppspalting før du prøver å løse dette.

Oppgave. Regn ut 7x-3x-32x+5dx

Løsning. Ved delbrøkoppspalting finner vi konstanter A, B og C slik at

7x-3x-32x+5=Ax-3+Bx-32+Cx+5

Dette gir opphav til et likningssystem der A, B og C er de ukjente. Løser vi dette på vanlig måte, finner vi at A=12, B=3 og C=12. Kombinert med teoremet i forrige seksjon får vi fra dette at

7x-3x-32x+5dx=12x-3+3x-32-12x+5dx, så

7x-3x-32x+5dx=12lnx-3-3x-3-12lnx+5+C,

og med litt opprydding får vi det endelige svaret

7x-3x-32x+5dx=12lnx-3x+5-3x-3+C.

 

Eksempel 2

Til slutt gjør vi et eksempel der graden i telleren er større enn graden i nevneren. Da må vi bruke polynomdivisjon for å gjøre graden i telleren mindre enn graden i nevneren. Etter at vi har gjort dette, er resten av regningen som før.

Oppgave.Finn integralet x32x21x21dx.

Løsning. Her har telleren grad 3, mens nevneren har grad 2. Da er det bare å sette i gang med polynomdivisjon. Vi finner:

Framstilling av polynomdivisjonen.

Resultatet av divisjonen ble altså x2, med en rest på x3. Dette betyr at

x32x21x21=x2+x3x21,

slik at

1       x3-2x2-1x2-1dx=x-2+x-3x2-1dx=12x2-2x+x-3x2-1dx.

Det siste integralet løser vi ved delbrøkoppspating som i de to foregående eksemplene. Ved konjugatsetningen er x21=(x+1)(x1), og vi finner på vanlig måte oppspaltingen x3(x+1)(x1)=2x+11x1. Dermed er

x-3x+1x-1dx=2lnx+1-lnx-1+C=lnx+12x-1+C.

Til slutt setter vi dette inn i likningen vi merket med (1) og får det endelige resultatet:

x3-2x2-1x2-1dx=12x2-2x+lnx+12x-1+C.

 

 

Publisert: 22.01.2014 Endret: 28.11.2014