www.matematikk.org
LærerstudenterLærerstudenter

Integrasjon av rasjonale uttrykk

Det siste vi skal se på i dette lynkurset er integrasjon av rasjonale uttrykk.

Regel. Integrasjon av rasjonale uttrykk

La Ix=PxQxdx, der Px og Qx er 

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: 4x+5 og 12x+2a.

polynomer
og Qx0.

  • Dersom graden til Px er mindre enn graden til Qx, regner vi ut Ix ved først å finne delbrøkoppspaltingen til integranden og så integrere leddene hver for seg.
  • Dersom graden til Px er større eller lik graden til Qx, må vi først utføre polynomdivisjonen Px:Qx. Hvis det blir et restledd finner vi delbrøkoppspaltingen til dette. Til slutt integrerer vi leddvis.

Hvis det som står over om delbrøkoppspalting og polynomdivisjon virker helt ukjent, kan det være lurt å se på kurset i polynomdivisjon før du fortsetter. De to regneteknikkene er viktige byggesteiner for oss her. Merk at regelen ikke er så komplisert som den ser ut til: Alt avhenger av graden til de to polynomene i uttrykket.

Vi trenger også følgende regneregler, som ikke er så vanskelige å bevise.

Teorem.

For alle tall a og heltall r2 gjelder:

  1. 1x-adx=lnx-a+C
  2. 1x-ardx=-1r-1x-ar-1+C

Prøv gjerne å bevise teoremet selv: Begge følger ved substitusjonen u=x-a (se seksjonen om substitusjon).

Eksempel

Oppgave. Finn det ubestemte integralet 1x-1xdx.

Løsning. Vi utfører delbrøkoppspaltingen og finner at

 1x-1x=1x-1-1x.

Nå bruker vi regnereglene fra teoremet over, og får da svaret:

1x-1xdx=1x-1-1xdx=lnx-1-lnx+C=lnx-1x+C.

Publisert: 22.01.2014 Endret: 28.11.2014